Question

15．如圖所示，用一塊長L=1.0m的木板在墻和水平地面間架設斜面，斜面與水平地面的傾角θ可在0～60°間調節后固定．將質量m=0.2kg的小物塊從斜面頂端靜止釋放，物塊與斜面間的動摩擦因數μ₁=0.05，物塊與水平地面間的動摩擦因數μ₂=0.8，忽略物塊在斜面與水平地面交接處的能量損失．（已知重力加速度g=10m/s²；sin37°=0.6，cos37°=0.8最大靜摩擦力等于滑動摩擦力）
（1）當θ角增大到多少時，物塊恰能從斜面開始下滑；（用正切值表示）
（2）當θ角增大到37°時，物塊沿斜面下滑時的加速度為多大？
（3）當θ角增大到多大時，物塊停止時與墻面的距離最大，求此最大距離x_m．

Answer 1

分析 （1）當物塊剛好能從斜面開始下滑時，物體的重力沿斜面下滑的分力等于最大靜摩擦力，列出等式即可求斜面的傾角θ；
（2）當θ角增大到37°時，根據牛頓第二定律求物塊下滑的加速度；
（3）分段運用動能定理列式，得到物塊停止時與墻面的距離x與θ的關系式，再由數學知識求得最大距離x_m及此時斜面的傾角θ．

解答 解：（1）物塊恰能從斜面開始下滑時，有：
   mgsinθ=μ₁mgcosθ；
故得 tanθ=0.05；
（2）當θ角增大到37°時，物塊沿斜面勻加速下滑．
根據牛頓第二定律有 mgsinθ-μ₁mgcosθ=ma
解得  a=5.6m/s²．
克服摩擦力做功W_f=μ₁mgL₁cosθ+μ₂mg（L₂-L₁cosθ）
由動能定理得：mgL₁sinθ-W_f=0
代入數據解得：
μ₂=0.8；
（3）設物塊停止時與墻面的距離為x．
對整個過程，由動能定理得：
  mgLsinθ-μ₁mgcosθ•L-μ₂mg（x-Lcosθ）=0
代入數據整理得 x=$\frac{5}{4}$（sinθ+0.75cosθ）=$\frac{5}{4}×$$\sqrt{1+0.7{5}^{2}}$sin（θ+α）
其中 tanα=0.75，α=37°
根據數學知識知，當θ+α=90°，即θ=53°時x最大，最大值 x_m=$\frac{5}{4}×$$\sqrt{1+0.7{5}^{2}}$=$\frac{25}{16}$m
答：
（1）當tanθ=0.05時，物塊恰能從斜面開始下滑；
（2）當θ角增大到37°時，物塊沿斜面下滑時的加速度為5.6m/s²．
（3）當θ角增大到53°時，物塊停止時與墻面的距離最大，此最大距離x_m為$\frac{25}{16}$m．

點評 本題要正確分析物塊受力情況，運用函數法，根據動能定理得到物塊停止時與墻面的距離與斜面傾角的關系式，運用數學知識求極值是解題的關鍵．