Question

1．如圖所示的xOy坐標系中，Y軸右側空間存在范圍足夠大的勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直于xOy平面向外．Q_l、Q₂兩點的坐標分別為（0，L）、（0，-L），坐標為（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$L，0）處的C點固定一平行于y軸放置的絕緣彈性擋板，C為擋板中點．帶電粒子與彈性絕緣擋板碰撞前后，沿y軸方向分速度不變，沿x軸方向分速度反向，大小不變．現有質量為m，電量為+q的粒子，在P點沿PQ_l方向進入磁場，a=30°，不計粒子重力．
（1）若粒子從點Q_l直接通過點Q₂，求粒子初速度大小．
（2）若粒子與擋板碰撞兩次并能回到P點，求粒子初速度大小及擋板的最小長度．

Answer 1

分析 （1）作出粒子運動的軌跡圖，結合幾何關系求出粒子在磁場中運動的軌道半徑，根據半徑公式求出粒子的速度；
（2）抓住與擋板碰撞兩次并能回到P點，作出軌跡圖，結合幾何關系，運用半徑公式進行求解．

解答 解：（1）由題意畫出粒子運動軌跡如圖（甲）所示，設PQ₁與x軸正方向夾角為θ，粒子在磁場中做圓周運動的半徑大小為R₁
由幾何關系得：R₁cosα=L ①
其中：cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ ②
粒子磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力：qvB=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$ ③
由①②③式聯立可得粒子初速度大小：v₁=$\frac{\sqrt{5}qBL}{2m}$．
（2）由題意畫出粒子運動軌跡如圖（乙）所示，設PQ₁與x軸正方向夾角為α，粒子在磁場中做圓周運動的半徑大小為R₂，偏轉一次后在y負方向偏移量為△y₁，
由幾何關系得：△y₁=2R₂cosα ④
其中：cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ ⑤
為保證粒子最終能回到P，粒子與擋板碰撞后，速度方向應與PQ₁連線平行，設每碰撞一次，粒子進出磁場在y軸上這段距離△y₂（如圖中A、E間距），
有：$\frac{\frac{△{y}_{2}}{2}}{\frac{L}{3}}$=tanα=$\frac{1}{2}$ 
得：△y₂=$\frac{L}{3}$ ⑥
當粒子只碰二次，其幾何條件是3△y₁-2△y₂=2L ⑦
④⑤⑥⑦式聯立得：R₂=$\frac{2\sqrt{5}L}{9}$ ⑧
粒子磁場中做勻速圓周運動：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$ ⑨
⑧⑨式子聯立得：v=$\frac{2\sqrt{5}qBL}{9m}$．
答：（1）從Q₁直接到達Q₂處的粒子初速度大小為$\frac{\sqrt{5}qBL}{2m}$；
（2）只與擋板碰撞兩次并能回到P點的粒子初速度大小為$\frac{2\sqrt{5}qBL}{9m}$．

點評 本題考查了帶電粒子在磁場中的運動，解題關鍵是要做出粒子運動的軌跡過程圖，結合幾何關系，運用半徑公式進行求解，難度較大，對數學幾何的關系要求較高，需加強這方面的訓練．