Question

11．如圖所示，在xOy平面內，0＜x＜2L的區域內有一方向豎直向上的勻強電場，2L＜x＜3L的區域內有一方向豎直向下的勻強電場，兩電場強度大小相等．x＞3L的區域內有一方向垂直于xOy平面向外的勻強磁場．某時刻，一帶正電的粒子從坐標原點以沿x軸正方向的初速度v₀進入電場；之后的另一時刻，一帶負電粒子以同樣的初速度從坐標原點進入電場．正、負粒子從電場進入磁場時速度方向與電場和磁場邊界的夾角分別為60°和30°，兩粒子在磁場中分別運動半周后在某點相遇．已經兩粒子的重力以及兩粒子之間的相互作用都可忽略不計，兩粒子帶電量大小相等．求：
（1）正、負粒子的質量之比m₁：m₂；
（2）兩粒子相遇的位置P點的坐標；
（3）兩粒子先后進入電場的時間差．

Answer 1

分析 （1）可以從粒子進入磁場的方向出發，由豎直速度大小由初速度表示出來，而此速度是由第一電場的加速和第二電場的減速而得，結合牛頓第二定律能求出質量之比．
（2）先畫出兩個粒子相遇的軌跡圖，相遇是兩個粒子在轉動半周后相碰的，那么進入的兩點與相遇點構成一個直角三角形，先求出粒子進入磁場前的縱坐標，由幾何關系就能求出相遇點P的坐標．
（3）由于兩粒子在電場中運動時間相同，所以進入電場時間差即為在磁場中從開始到相遇的時間差，由周期公式求出兩個粒子轉半周的時間差，就是粒子進入電場的時間差．

解答 解：（1）設粒子初速度為v₀，進磁場方向與邊界的夾角為θ．
${v_y}=\frac{v_0}{tanθ}$…①
記$t=\frac{L}{v_0}$，則粒子在第一個電場運動的時間為2t，在第二個電場運動的時間為t  則：
v_y=a×2t-at…②
qE=ma…③
由①②③得：$m=\frac{qEt}{v_0}tanθ$
所以$\frac{m_1}{m_2}=\frac{{tan{{60}°}}}{{tan{{30}°}}}=\frac{3}{1}$   
（2）正粒子在電場運動的總時間為3t，則：
  第一個t的豎直位移為$\frac{1}{2}{a_1}{t^2}$
  第二個t的豎直位移為$\frac{1}{2}{a_1}{（2t）^2}-\frac{1}{2}{a_1}{t^2}=\frac{3}{2}{a_1}{t^2}$
  由對稱性，第三個t的豎直位移為$\frac{3}{2}{a_1}{t^2}$
  所以${y_1}=\frac{7}{2}{a_1}{t^2}$  
  結合①②得${y_1}=\frac{{7\sqrt{3}}}{6}L$
  同理${y_2}=\frac{{7\sqrt{3}}}{2}L$   
  由幾何關系，P點的坐標為：x_P=3L+（y₁+y₂）sin30°sin60°=6.5L
   ${y_P}=-[{y_2}-（{y_1}+{y_2}）sin{30°}cos{60°}]=-\frac{{7\sqrt{3}}}{3}L$
（3）設兩粒子在磁場中運動半徑為r₁、r₂
   由幾何關系2r₁=（y₁+y₂）sin60°
                    2r₂=（y₁+y₂）sin30°
  兩粒子在磁場中運動時間均為半個周期：
        ${t_1}=\frac{{π{r_1}}}{v_1}$
         ${t_2}=\frac{{π{r_2}}}{v_2}$
   v₀=v₁sin60°
   v₀=v₂sin30°
  由于兩粒子在電場中運動時間相同，所以進電場時間差即為磁場中相遇前的時間差△t=t₁-t₂
    解得$△t=\frac{{7\sqrt{3}πL}}{{6{v_0}}}$
答：（1）正、負粒子的質量之比為3：1．
（2）兩粒子相遇的位置P點的坐標為（6.5L，$-\frac{7\sqrt{3}}{3}L$ ）．
（3）兩粒子先后進入電場的時間差為$\frac{7\sqrt{3}πL}{6{v}_{0}}$．

點評 本題雖沒有告訴電場和磁場的相關物理量，只從運動學角度告訴進入磁場的方向，以及兩粒子恰恰在磁場中均轉過半圈相遇于P點，所以要假定事先假定一些參數，最后再消去這些參數．要注意的是由于水平方向不受力，粒子水平方向做勻速直線運動，由于豎直方向是方向相反的兩塊電場，則豎直方向先做勻加速直線運動后做勻減速直線運動，表示出各自的豎直末速度，再由角度的關系，求出末速度關系，豎直位移等，最后得到所求．