Question

（2011?株洲二模）如圖，豎直平面內有一直角坐標系xOy，在x≥0的區域內有一傾角為45°的絕緣光滑斜面，斜面末端O處用一極小的平滑曲面連接，恰能使斜面末端水平．在x≤0的廣泛區域內存在正交的勻強磁場和勻強電場，磁場垂直于紙面向里，磁感應強度大小為B；電場沿豎直方向，場強大小為E．電荷量為-q的帶電小球從絕緣光滑斜面上某點由靜止開始下滑，小球經斜面末端O點進入電場和磁場，之后沿圓周運動，垂直于y軸離開電場和磁場，最后垂直打到斜面上．
求：
（1）小球從開始運動到垂直打到斜面上所用時間．
（2）小球開始下滑的初始位置坐標．

Answer 1

分析：（1）畫出小球運動的軌跡，小球經過三個運動過程：1、由靜止開始勻加速運動到斜面末端，由速度公式v₀=gsin45°t₁求出時間的表達式；2、在左側復合場中做勻速圓周運動，半徑為r=

mv0

qB

，時間t₂=

1

2

T=

πm

qB

；3、y軸離開電場和磁場后做平拋運動，垂直落到斜面時，v₀=v_ytan45°=gt₃，豎直方向位移為  2r-y₂=

1

2

g

t

2 3

，y₂=x₂=v₀t₃，聯立解得各段時間，即可求出總時間．
（2）小球初始位置到斜面末端的距離為 l=

1

2

gsin45°

t

2 1

，由上求得t₁，即可求出位置的坐標．

解答：解：（1）小球運動的軌跡如圖．初始位置（x₁，y₁），再次回到斜面的落點位置（x₂，y₂），小球經時間t₁運動到末端的速度為v₀，則
  t₁=

v0

gsin45°

  ①
小球在復合場中做勻速圓周運動，則有  mg=qE   ②
軌道半徑為  r=

mv0

qB

  ③
運動時間為 t₂=

1

2

T=

πm

qB

 ④
小球離開電磁場后做平拋運動，經時間t₃垂直落到斜面時
    v₀=v_ytan45°=gt₃   ⑤
2r-y₂=

1

2

g

t

2 3

   ⑥
y₂=x₂=v₀t₃，⑦
由②③⑤⑥⑦得，t3=

4E

3gB

 ⑧v0=

4E

3B

  ⑨
由②④得，t₂=

πE

gB

  ⑩
由①⑨得，t1=

4 2 E

3gB

故小球從開始運動到垂直打到斜面上所用時間為t=t₁+t₂+t₃=（

4( 2 +1)

3

+π）

E

gB

．
（2）小球初始位置到斜面末端的距離為 l=

1

2

gsin45°

t

2 1

=

8 2 E2

9gB2

故  x₁=y₁=lsin45°=

8E2

9gB2

答：
（1）小球從開始運動到垂直打到斜面上所用時間為（

4( 2 +1)

3

+π）

E

gB

．．
（2）小球開始下滑的初始位置坐標（

8E2

9gB2

，

8E2

9gB2

）．

點評：本題的運動過程比較復雜，既要單獨分析各段過程的運動情況，又抓住各過程之間的聯系，這是解題的關鍵所在．