Question

如圖所示，斜面AB與豎直半圓軌道在B點圓滑相連，斜面傾角為θ=45°，半圓軌道的半徑為R，一小球從斜面的頂點A由靜止開始下滑，進入半圓軌道，最后落到斜面上，不計一切摩擦．試球：（結果可保留根號）．
（1）欲使小球能通過半圓軌道最高點C，落到斜面上，斜面AB的長度L至少為多大？
（2）在上述最小L的條件下，小球從A點由靜止開始運動，最后落到斜面上的落點與半圓軌道直徑BC的距離，x為多大？

Answer 1

分析：（1）由題意：小球恰好通過最高點C時，對軌道壓力N=0，此時L最�。�根據向心力公式求出C點速度，從A到C機械能守恒，根據機械能守恒定律求出斜面AB的長度L；
（2）小球離開C點后做平拋運動，根據平拋運動的性質即可求解．

解答：解：（1）由題意：小球恰好通過最高點C時，對軌道壓力N=0，此時L最�。�
mg=m

vc2

R

vc=

gr

從A到C機械能守恒，mgLsinθ=mg(2R)+

1

2

m

v

2 c

；
∴L=

5 2

2

R
（2）落到斜面上時：
水平方向有：X=v_ct               
豎直方向有：y=

1

2

gt2
tanθ=

2R-y

x

解得：x=(

5

-1)R
答：（1）欲使小球能通過半圓軌道最高點C，落到斜面上，斜面AB的長度L至少為

5 2

2

R；
（2）在上述最小L的條件下，小球從A點由靜止開始運動，最后落到斜面上的落點與半圓軌道直徑BC的距離，x為(

5

-1)R．

點評：本題是圓周運動與平拋運動相結合的問題，主要考查了圓周運動及平拋運動的基本公式，并結合機械能守恒解題，難度適中．