Question

2．在一次治理超載和超限的執法中，一輛執勤的警車停在公路邊．當警員發現從他旁邊以72km/h的速度勻速行駛的貨車嚴重超載時，決定前去追趕．經過10s后警車發動起來，并以2.5m/s²的加速度做勻加速運動，但警車的行駛速度必須控制在90km/h以內．求：
（1）警車在追趕貨車的過程中，兩車間的最大距離是多少？
（2）警車發動后要多少時間才能追上貨車？

Answer 1

分析 貨車勻速運動在前面，警車從靜止開始勻加速運動在后面追，剛開始貨車的速度大于警車速度，故兩車之間的距離越來越大，當兩車速度相等時，位移最大，之后警車速度大于貨車，兩車之間的距離逐漸減小直至追上．在此過程中注意，警車發動的時間，貨車在做勻速運動，而警車不能一直加速下去，當速度達到90km/h時就不能增加了，而做勻速運動．所以該題要先分析警車能不能在勻加速階段追上貨車，若不能，則在勻速階段追上．當警車追上貨車時兩車位移相等．

解答 解：（1）警車在追趕貨車的過程中，當兩車速度相等時，它們間的距離最大，設警車發動后經過${t}_{1}^{\;}$時間兩車的速度相等．${v}_{貨}^{\;}=72km/h=20m/s$ 
則${t}_{1}^{\;}=\frac{20}{2.5}s=8s$
${s}_{貨}^{\;}=（10+8）×20m=360m$
${s}_{警}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×2.5×{8}_{\;}^{2}m=80m$
所以兩車間的最大距離為：$△s={s}_{貨}^{\;}-{s}_{警}^{\;}=280m$
（2）${v}_{0}^{\;}=90km/h=25m/s$，當警車剛達到最大速度時，運動時間為：${t}_{2}^{\;}=\frac{25}{2.5}s=10s$
${s}_{貨}^{′}=（10+10）×20m=400m$
${s}_{警}^{′}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×2.5×1{0}_{\;}^{2}m=125m$
因為${s}_{貨}^{′}＞{s}_{警}^{′}$，故此時警車尚未趕上貨車，且此時兩車距離為：
$△s={s}_{貨}^{′}-{s}_{警}^{′}=（400-125）m=275m$
警車達到最大速度后做勻速運動，設再經△t時間追上貨車，則有：$△t=\frac{△s′}{{v}_{0}^{\;}-{v}_{貨}^{\;}}=55（s）$
所以警車發動后要經過${t=t}_{2}^{\;}+△t=65s$才能追上貨車．
答：（1）警車在追趕貨車的過程中，兩車間的最大距離是280m
（2）警車發動后要65s時間才能追上貨車

點評 本題考查運動學中的追及問題，知道速度相等，兩者距離最大．以及通過位移關系，結合運動學公式求出追及的時間．