Question

19．如圖，質量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速圓周運動，星球A和B兩者中心之間的距離為L，已知A、B的中心和O三點始終共線，A和B分別在O的兩側，引力常數為G．
（1）求兩星球做圓周運動的周期；
（2）在地月系統中，若忽略其他星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運行的周期為T₁．但在近似處理問題時，常常認為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得運行周期記為T₂．已知地球和月球的質量分別為5.98×10²⁴kg和7.35×10²²kg．求T₁與T₂兩者平方之比（結果保留三位小數）．

Answer 1

分析 這是一個雙星的問題，A和B繞O做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供各自的向心力，A和B有相同的角速度和周期，結合牛頓第二定律和萬有引力定律解決問題．

解答 解：（1）A和B繞O做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供向心力，則A和B的向心力大小相等，且A和B和O始終共線，說明A和B有相同的角速度和周期，因此有：$m{ω}_{\;}^{2}r=M{ω}_{\;}^{2}R，r+R=L$
聯立解得：$R=\frac{m}{m+M}L，r=\frac{M}{m+M}L$
對A根據牛頓第二定律和萬有引力定律得：$G\frac{Mm}{{L}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}•\frac{M}{m+M}L$
化簡得：$T=2π\sqrt{\frac{{L}_{\;}^{3}}{G（M+m）}}$
（2）將地月看成雙星，由（1）得${T}_{1}^{\;}=2π\sqrt{\frac{{L}_{\;}^{3}}{G（M+m）}}$
將月球看作繞地心做圓周運動，根據牛頓第二定律和萬有引力定律得：$G\frac{Mm}{{L}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}L$
化簡得：${T}_{2}^{\;}=2π\sqrt{\frac{{L}_{\;}^{3}}{GM}}$
所以兩種周期的平方比值為$（\frac{{T}_{2}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}）_{\;}^{2}$=$\frac{M+m}{M}$=$\frac{5.98×1{0}_{\;}^{24}+7.35×1{0}_{\;}^{22}}{5.98×1{0}_{\;}^{24}}=1.012$
答：（1）求兩星球做圓周運動的周期$2π\sqrt{\frac{{L}_{\;}^{3}}{G（M+m）}}$；
（2）T₁與T₂兩者平方之比1.012

點評 對于雙星問題，我們要抓住它的特點，即兩星球的萬有引力提供各自的向心力和兩星球具有共同的周期．