Question

9．宇航員站在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一個小球．經過時間t，小球落到星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離為L；若拋出時的初速增大到2倍，則拋出點與落地點之間的距離為$\sqrt{3}$L．已知兩落地點在同一水平面上，該星球的半徑為R．若在該星球上發射衛星，使衛星繞該星球做圓周運動，求其第一宇宙速度．

Answer 1

分析 根據平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規律，抓住兩次平拋運動水平位移的關系，求出重力加速度的大小，結合重力提供向心力求出第一宇宙速度的大小．

解答 解：設第一次拋出速度為v、高度為h，根據題意可得右圖：
L²=h²+（vt）²
（$\sqrt{3}$L）²=h²+（2vt）²
又h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
聯立解得g=$\frac{2\sqrt{3}L}{3{t}^{2}}$．
由萬有引力定律與牛頓第二定律，得：$mg=m\frac{v^2}{R}$，式中m為衛星的質量．
聯立以上各式，解得：$v=\sqrt{\frac{{2\sqrt{3}RL}}{{3{t^2}}}}$．
答：第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{2\sqrt{3}RL}{3{t}^{2}}}$．

點評 本題考查了平拋運動和萬有引力定律理論的綜合運用，通過平拋運動的規律求出星球表面的重力加速度是關鍵．