Question

19．一列火車由等長的車廂組成，車廂之間的間隙忽路不計，一個人站在站臺上與第一節車廂的最前端相齊．當列車由靜止開始做勻速直線運動開始計時．測量第一節車廂遇過他所用的時間為2s
求：
（1）10s內總共有多少節車廂通過他的面前？
（2）第4節車廂完全通過他用了多長時間？第5節車廂到第8節車廂完全通過他又用了多長時間？
（3）第1節車廂末端，第5節車廂末端通過他時，瞬時速度之比是多少？

Answer 1

分析 （1）根據勻變速直線運動的位移時間公式，聯立方程求出10s內通過車廂的節數．
（2）根據初速度為零勻加速直線運動相等位移所用的時間之比，得出第4節車廂通過他的時間，根據位移時間公式求出第5節車廂到第8節車廂完全通過他所用的時間．
（3）根據速度位移公式求出第1節車廂末端，第5節車廂末端通過他時瞬時速度之比．

解答 解：（1）設一節車廂的長度為L，有：L=$\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}=2a$，
10s內的位移為：x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×a×100=50a$，
共有車廂的節數為：n=$\frac{x}{L}=\frac{50a}{2a}=25$．
（2）因為初速度為零的勻加速直線運動，在相等時間位移所用的時間之比為1：$（\sqrt{2}-1）：（\sqrt{3}-\sqrt{2}）：$…$（\sqrt{n}-\sqrt{n-1}）$，
則第一節車廂和第四節車廂通過的時間之比為1：$（2-\sqrt{3}）$，
所以第4節車廂通過的時間為：${t}_{4}=（4-2\sqrt{3}）s$．
因為L=$\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}$，則${t}_{1}=\sqrt{\frac{2L}{a}}$，
5節車廂全部通過所需的時間為：${t}_{5}=\sqrt{\frac{2×5L}{a}}=\sqrt{\frac{10L}{a}}$，
8節車廂全部通過所需的時間為：${t}_{8}=\sqrt{\frac{2×8L}{a}}=\sqrt{\frac{16L}{a}}$，
第5節車廂到第8節車廂完全通過所需的時間為：$t′={t}_{8}-{t}_{5}=\sqrt{\frac{16L}{a}}-\sqrt{\frac{10L}{a}}=\sqrt{\frac{2L}{a}}（\sqrt{8}-\sqrt{5}）$，
可知：$t′=（\sqrt{8}-\sqrt{5}）{t}_{1}=（4\sqrt{2}-2\sqrt{5}）s$．
（3）根據速度位移公式v²=2ax得：${v}_{1}=\sqrt{2aL}$，${v}_{5}=\sqrt{2a×5L}$，
所以${v}_{1}：{v}_{5}=1：\sqrt{5}$．
答：（1）10s內總共有25節車廂通過他的面前；
（2）第4節車廂完全通過他用了$（4-2\sqrt{3}）s$；第5節車廂到第8節車廂完全通過他又用了$（4\sqrt{2}-2\sqrt{5}）s$；
（3）第1節車廂末端，第5節車廂末端通過他時，瞬時速度之比是1：$\sqrt{5}$．

點評 解決本題的關鍵掌握勻變速直線運動的運動學公式和推論，并能靈活運用，有時運用推論求解會使問題更加簡捷．