Question

10．玻爾理論成功的解釋了氫光譜．電子繞氫原子核運動可以看作是僅在庫侖力作用下的勻速圓周運動．已知電子的電荷量為e，電子在第1軌道運動的半徑為r₁，靜電力常量為k．
（1）試計算電子繞氫原子核在第1軌道上做圓周運動時的動能；
（2）玻爾認為氫原子處于不同的能量狀態，對應著電子在不同的軌道上繞核做勻速圓周運動，他發現：電子在第n軌道上運動的軌道半徑r_n=n²r₁，其中n為量子數（即軌道序號）．
根據經典電磁理論，電子在第n軌道運動時，氫原子的能量E_n為電子動能與“電子-原子核”這個系統電勢能的總和．理論證明，系統的電勢能E_p和電子繞氫原子核做圓周運動的半徑r存在關系：E_p=-k$\frac{{e}^{2}}{r}$（以無窮遠為電勢能零點）．請根據上述條件完成下面的問題．
①電子在第n軌道運動時氫原子的能量E_n和的表達式（用n、e、r₁和k表示）．
②假設氫原子甲的核外電子從第2軌道躍遷到第1軌道的過程中所釋放的能量，恰好被量子數n=3的氫原子乙吸收并使其電離．不考慮躍遷或電離前后原子核所受到的反沖，試求氫原子乙電離出電子的動能．

Answer 1

分析 （1）根據庫侖力提供向心力，結合圓周運動周期的公式，再由電流表達式，即可求解；
（2）根據牛頓第二定律，結合動能與電勢能表達式，從而確定各軌道的能級，最后由能量守恒定律，即可求解．

解答 解：（1）設電子繞氫原子核在第1軌道上做圓周運動的周期為T₁，形成的等效電流大小為I₁，
根據牛頓第二定律有：k$\frac{{e}^{2}}{{r}_{1}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$
E_k=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{k{e}^{2}}{2{r}_{1}}$
（2）①設電子在第1軌道上運動的氫原子的能量為：E₁=-k$\frac{{e}^{2}}{{r}_{1}}$+k$\frac{{e}^{2}}{2{r}_{1}}$=-k$\frac{{e}^{2}}{2{r}_{1}}$
同理，電子在第n軌道運動時氫原子的能量為：E_n=-k$\frac{{e}^{2}}{2{r}_{n}}$
②電子從第2軌道躍遷到第1軌道釋放的能量為：△E=E₂-E₁=$\frac{3k{e}^{2}}{8{r}_{1}}$
電子在第3軌道時氫原子的能量為：E₃=$\frac{1}{9}{E}_{1}$=-k$\frac{{e}^{2}}{18{r}_{1}}$
設氫原子電離后具有的動能為E_k，根據能量守恒有：
E_k=E₃+△E=$\frac{23}{72}$k$\frac{{e}^{2}}{{r}_{1}}$
答：（1）試計算電子繞氫原子核在第1軌道上做勻速圓周運動時的動能為$\frac{k{e}^{2}}{2{r}_{1}}$；
（2）①電子在第n軌道運動時氫原子的能量E_n的表達式為E_n=-k$\frac{{e}^{2}}{2{r}_{n}}$ （用n，e，r₁和k表示）
②氫原子乙電離出的電子的動能為$\frac{23}{72}$k$\frac{{e}^{2}}{{r}_{1}}$．

點評 考查庫侖定律，掌握牛頓第二定律的應用，注意原子核的電量與電子電量相等，同時各軌道的能量是解題的關鍵，還要掌握能量守恒定律的內容．