Question

5．空間站是一種在近地軌道長時間運行，可供多名航天員巡防，長期工作和生活的載人航天器，如圖所示，某空間站在軌道半徑為R的近地圓軌道I上圍繞地球運動，一宇宙飛船與空間站對接檢修后再與空間站分離．分離時宇宙飛船依靠自身動力裝置在很短的距離內加速，進入橢圓軌道II運行．已知橢圓軌道的遠地點到地球球心的距離為3.5R，地球質量為M，萬有引力常量為G，則分離后飛船在橢圓軌道上至少運動多長時間才有機會和空間站進行第二次對接？
（　　）

• A． $8π\sqrt{\frac{R^3}{GM}}$
• B． $16π\sqrt{\frac{R^3}{GM}}$
• C． $27π\sqrt{\frac{R^3}{GM}}$
• D． $54π\sqrt{\frac{R^3}{GM}}$

Answer 1

分析 設空間站在軌道 I上運行周期為T₁，根據萬有引力提供空間站做圓周運動的向心力列式求出空間站的周期；
求出航天飛船所在橢圓軌道的半長軸，根據開普勒第三定律列式求出航天飛船在軌道 II上運動的周期，要完成對接，飛船和空間站須同時到達橢圓軌道的近地點，從而求出時間．

解答 解：設空間站在軌道 I上運行周期為T₁，萬有引力提供空間站做圓周運動的向心力，則：
$G\frac{{M}_{空}{M}_{\;}}{{R}^{2}}={M}_{空}{（\frac{2π}{{T}_{1}}）}^{2}R$
解得：${T}_{1}=2π\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$
航天飛船所在橢圓軌道的半長軸：$L=\frac{3.5R+R}{2}=\frac{9}{4}R$
設航天飛船在軌道 II上運動的周期為T₂，由開普勒第三定律：$（\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}）^{2}=（\frac{L}{R}）^{3}$
解得：${T}_{2}=\frac{27}{8}{T}_{1}$
要完成對接，飛船和空間站須同時到達橢圓軌道的近地點，故所需時間：t=27T₁
解得：$t=54π\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$．故ABC錯誤，D正確．
故選：D

點評 本題主要考查了萬有引力提供向心力公式以及開普勒第三定律的直接應用，知道要完成對接，飛船和空間站須同時到達橢圓軌道的近地點，難度適中．