Question

19．光滑的長軌道形狀如圖所示，底部為半圓形，其半徑為R，固定在豎直平面內．A、B兩質量相同都為m的小環用長為R的輕桿連接在一起，套在軌道上．將A、B兩環從圖示位置靜止釋放，A環距離底端為2R．不考慮輕桿和軌道的接觸，即忽略系統機械能的損失，當A、B環進入半圓時速率相同，求：
（1）A、B兩環都未進入軌道底部半圓形前，桿對A的作用力F；
（2）當A環下滑至軌道最低點時，A、B的速度大小；
（3）在A環下滑至軌道最低點的過程中時，桿對B所做的功W_B．

Answer 1

分析 （1）兩個環以及連桿整體自由下落，處于完全失重狀態，故桿上彈力為零；
（2）A環到達最低點時，兩環具有相同角速度，則兩環速度大小一定相等；根據幾何關系找到B環的位置，然后根據機械能守恒定律列式求解出各自的速度；
（3）對B球，運用動能定理列式，可求得桿對B所做的功W_B．

解答 解：（1）兩環都未進入半圓形軌道前都做自由落體運動，加速度為g，則由牛頓第二定律知，兩球的合力均等于各自的重力，所以桿上的作用力 F=0．
（2）當A環到達軌道最低點時，B環也已進入半圓軌道（如右圖所示），由幾何關系知兩環的速度大小相等，設為v，由機械能守恒定律得：
    $\frac{1}{2}$•2mv²=mg•2R+mg（2R+Rsin 30°）
解得：v=3$\sqrt{\frac{gR}{2}}$
（3）對B從起始位置到A到最低點對應B的末位置用動能定理得：
  mg•（2R+Rsin30°）+W_B=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
所以W_B=-$\frac{mgR}{4}$
答：
（1）A、B兩環都未進入軌道底部半圓形前，桿對A的作用力F為0；
（2）當A環下滑至軌道最低點時，A、B的速度大小都是3$\sqrt{\frac{gR}{2}}$；
（3）在A環下滑至軌道最低點的過程中時，桿對B所做的功W_B是-$\frac{mgR}{4}$．

點評 本題的第1小題，也可根據完全失重的特點分析．要抓住兩球組成的系統機械能守恒，但單個小球的機械能并不守恒．第3小題，也可以這樣解：對A從起始位置到最低點，用動能定理得：mg•2R+W_A=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得，桿對 A所做的功 W_A=$\frac{mgR}{4}$．對系統A、B機械能守恒，所以 W_B=-W_A=-$\frac{mgR}{4}$．