Question

已知某星球的半徑為R，有一距星球表面高度h=R處的衛星，繞該星球做勻速圓周運動，測得其周期T=2π

5R

．求：
（1）該星球表面的重力加速度g
（2）若在該星球表面有一如圖所示的裝置，其中AB部分為一長為12.8m并以5m/s速度順時針勻速轉動的傳送帶，BCD部分為一半徑為1.6m豎直放置的光滑半圓形軌道，直徑BD恰好豎直，并與傳送帶相切于B點．現將一質量為0.1kg的可視為質點的小滑塊無初速地放在傳送帶的左端A點上，已知滑塊與傳送帶間的動摩擦因數為0.5．
試求出到達D點時對軌道的壓力大小；（提示：

10.24

=3.2）

Answer 1

分析：（1）由衛星在高處的周期，可以力萬有引力提供向心力的周期表達式，在聯合在星球表面萬有引力等于重力，可以解得星球重力加速度
（2）首先解決物體到B點的速度問題，在傳送帶上先按照物體已知被加速度來做，看到B的速度是否大于傳送帶速度，若不小于，則說明假設是正確的，可以求出物體的加速度，若大于，說明假設，不對，物體沒有一直被加速，需要再討論，求出B點的速度后，再判斷物體能否到達D點，進而才能確定是否有壓力，壓力大小是多少．

解答：解：
（1）對距星球表面h=R處的衛星（設其質量為m），
有：G

Mm

(R+h)2

=m(

2π

T

)2(R+h)
對在星球表面的物體m′，有：G

Mm′

R2

=m′g
解得：g=1.6 m/s²
（2）設滑塊從A到B一直被加速，且設到達B點時的速度為V_B
則：VB=

2ax

=

2μgx

=

2×0.5×1.6×12.8

=

16

5

2

，m/s=3.2

2

m/s 
因V_B＜5m/s，故滑塊一直被加速     
設滑塊能到達D點，且設到達D點時的速度為V_D
則在B到D的過程中，由動能定理：-mg?2R=

1

2

mV_D²-

1

2

mV_B²
解得：VD=

V 2 B -4gR

=

3.22×2-4×1.6×1.6

=3.2m/s
而滑塊能到達D點的臨界速度：V₀=

gR

=1.6m/s＜V_D
即滑塊能到達D點
在D點時由重力和軌道的壓力共同提供向心力：
N+mg=m

vD2

R

解得：
N=0.48N
由牛頓第三定律知，物體對軌道的壓力為0.48N
答：
（1）星球表面的重力加速度為1.6 m/s²
（2）在D點對軌道的壓力為0.48N

點評：難點由兩處：一是判定B點的速度，二是判定物體能否到達D點，每一個地方都有可能出錯，因此這是一個非常容易錯的題．