Question

15．下暴雨時，有時會發生山體滑坡或泥石流等地質災害．某地有一傾角為θ=37°（sin37°=$\frac{3}{5}$）的山坡C，上面有一質量為m的石板B，其上下表面與斜坡平行；B上有一碎石堆A（含有大量泥土），A和B均處于靜止狀態，如圖所示．假設某次暴雨中，A浸透雨水后總質量也為m（可視為質量不變的滑塊），在極短時間內，A、B間的動摩擦因數μ₁減小為$\frac{3}{8}$，B、C間的動摩擦因數μ₂減小為0.5，A、B開始運動，此時刻為計時起點；在第3s末，C的上表面突然變為光滑，μ₁保持不變．已知A開始運動時，A離B下邊緣的距離l=27m，C足夠長，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．取重力加速度大小g=10m/s²．求：
（1）在第3s末時A和B的速度大小；
（2）判斷A能否滑離石板B？若能請求出A在B上運動的總時間；若不能請求出A距B上端的最大距離．

Answer 1

分析 （1）對A、B分別用于牛頓第二定律可以求出其加速度，應用速度公式求出受到．
（2）用于牛頓第二定律求出其加速度，然后應用位移公式求出位移，根據兩者位移之差與石板長度的關系判斷A是否滑離B，然后分析答題．

解答 解：（1）在0～3s時間內，A和B的受力如圖所示，其中f₁、N₁是A與B之間的摩擦力和正壓力的大小，
f₂、N₂是B與C之間的摩擦力和正壓力的大小，方向如圖所示．由滑動摩擦力公式和力的平衡條件得：
f₁=μ₁N₁，
N₁=mgcosθ，
f₂=μ₂N₂，
N₂=N₁+mgcosθ，
規定沿斜面向下為正．設A和B的加速度分別為a₁和a₂，
由牛頓第二定律得：mgsinθ-f₁=ma₁，
mgsinθ-f₂+f₁=ma₂，
代入數據解得：a₁=3m/s²，a₂=1m/s²，
在t₁=3s時，設A和B的速度分別為v₁和v₂，則有：
v₁=a₁t₁=3×3=9m/s，
v₂=a₂t₂=1×3=3m/s；
（2）3s后，設A和B的加速度分別為a?₁和a?₂．此時B與C之間摩擦力為零，由滑動摩擦力公式和力的平衡條件得：
f₁=μ₁N₁，N₁=mgcosθ，N₂=N₁+mgcosθ，
規定沿斜面向下為正．設A和B的加速度分別為a₁和a₂，
由牛頓第二定律得：mgsinθ-f₁=ma₁′，
mgsinθ+f₁=ma₂′，
代入數據解得：a₁′=3m/s²，a₂′=9m/s²，
即A、B分別做加速運動．設經過時間t₂，A、B的共同速度為v，
則有：v₁+a₁?t₂=v₂+a₂?t₂，
代入數據解得：t₂=1s，
在t₁+t₂時間內，A相對于B運動的距離為：
s=（$\frac{1}{2}$a₁t₁²+v₁t₂+$\frac{1}{2}$a₁′t₂²）-（$\frac{1}{2}$a₂t₁²+v₂t₂+$\frac{1}{2}$a₂′t₂²），
解得：s=12m＜27m，
此后A、B相對靜止一起做勻加速直線運動，
A不會滑離石板B，A距石板B上端最大距離為12m．
答：（1）在第3s末時A和B的速度大小分別是9m/s、3m/s、；
（2）A不會滑離石板B，A距B上端的最大距離為12m．

點評 本題考查了多體多過程問題，物體運動過程復雜，本題難度較大；分析其清楚物體運動過程與受力情況是解題的前提與關鍵，應用牛頓第二定律與運動學公式可以解題．