Question

10．隨著“嫦娥一號”、“嫦娥二號”和“嫦娥三號”月球探測器的成功發射，我國宇航員登上月球已不是夢想．據新華社報道：我國未來將建立月球基地，并在繞月軌道上建造空間站．若某空間站在靠近月球表面的軌道上繞月球做勻速圓周運動，已知月球表面的重力加速度為g，月球半徑為R，萬有引力常量為G．求：
（1）月球的質量；
（2）該空間站的繞行速度和繞行周期．

Answer 1

分析 （1）月球表面的物體受到的重力等于萬有引力據此可以求出月球質量．
（2）空間站繞月球做圓周運動，萬有引力提供向心力，應用萬有引力公式與牛頓第二定律可以求出空間站的線速度與周期．

解答 解：（1）月球表面的物體受到的重力等于萬有引力，
即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，解得，月球質量：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）萬有引力提供空間站做圓周運動的向心力，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，
解得：v=$\sqrt{gR}$，T=2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$；
答：（1）月球的質量為$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）該空間站的繞行速度為$\sqrt{gR}$，繞行周期為2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$．

點評 本題考查了求月球質量、空間站的線速度與周期，考查了萬有引力定律的應用，知道萬有引力等于重力、萬有引力提供向心力是解題的前提與關鍵，應用萬有引力公式與牛頓第二定律可以解題．