Question

20．如圖所示，在x軸的上方存在垂直紙面向里，磁感應強度大小為B₀的勻強磁場．位于x軸的下方離子源C發射質量為m、電荷量為q的一束負離子，其初速度大小范圍0～$\sqrt{3}{v}_{0}$，這束離子經電勢差U=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}$的電場加速后，從小孔O（坐標原點）垂直x軸并垂直磁場射入磁場區域，最后打到x軸上．在x軸上2a～3a區間水平固定放置一探測板（a=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$），假設每秒射入磁場的離子總數為N₀，打到x軸上的離子數均勻分布（離子重力不計）．
（1）求離子束從小孔O射入磁場后打到x軸的區間；
（2）調整磁感應強度的大小，可使速度最大的離子恰好打在探測板右端，求此時的磁感應強度大小B₁；
（3）保持磁感應強度B₁不變，求每秒打在探測板上的離子數N；若打在板上的離子80%被吸收，20%被反向彈回，彈回速度大小為打板前速度大小的0.6倍，求探測板受到的作用力大小．

Answer 1

分析 初速度不同的粒子被同一加速電場加速后，進入磁場的速度也不同，做勻速圓周運動的半徑不同，轉半圈后打在x軸上的位置不同．
（1）分別求出最大和最小速度，從而求出最大半徑和最小半徑，也就知道打在x軸上的區間．
（2）打在探測板最右端的粒子其做勻速圓周運動的半徑為1.5a，由半徑公式也就能求出磁感應強度．
（3）取時間t=1s，分兩部分據動量定理求作用力．兩者之和就是探測板受到的作用力．

解答 解：（1）在加速電場中加速時據動能定理：$Uq=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
   將$U=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2q}$和v₁=0 和${v}_{1}=\sqrt{3}{v}_{0}$分別代入上式，得到離子進入磁場的最小和最大速度：v_min=v₀、v_max=2v₀
   在磁場中洛侖茲力提供向心力：$q{B}_{0}{v}_{2}=\frac{m{{v}_{2}}^{2}}{r}$，所以半徑$r=\frac{m{v}_{2}}{q{B}_{0}}$  
   將最小速度和最大速度分別代入并跟$a=\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$  進行對比得到最小半徑和最大半徑：r_min=a     r_max=2a
   所以打在x軸上的區間為2a--4a．
（2）當最大速度的粒子打在探測板的最右端時，其半徑r₁=1.5a，由上述公式得到此時磁感應強度${B}_{1}=\frac{m{v}_{max}}{q{r}_{1}}=\frac{4}{3}{B}_{0}$．
（3）若保持磁感應強度${B}_{1}=\frac{4}{3}{B}_{0}$  不變，將最小速度和最大速度代入半徑公式$r=\frac{mv}{qB}$，得到此種情況下的最小半徑和最大半徑：
       ${r}_{min}′=\frac{3}{4}a$      ${r}_{max}′=\frac{3}{2}a$
     則打在x軸上的區間為1.5a--3a，所以打在探測板上的粒子占總粒子數$N=\frac{3a-2a}{3a-1.5a}{N}_{0}$=$\frac{2}{3}{N}_{0}$．
   取時間t=1s，有N個粒子打在探測板上，其中80%被吸收速度變為零，對這些粒子探測板對它們的沖量使其動量變為零，由動量定理：
     $-{F}_{1}t=0-80%Nm\overline{v}$   將$\overline{v}=1.5{v}_{0}$及N=$\frac{2}{3}{N}_{0}$、t=1s代入得：F₁=0.8N₀mv₀．
   同理：對20%被反向彈回的粒子由動量定理：
    $-{F}_{2}t=20%Nm（-0.6\overline{v}）-20%Nm\overline{v}$  將$\overline{v}=1.5{v}_{0}$及N=$\frac{2}{3}{N}_{0}$、t=1s代入得：F₂=0.32N₀mv₀．
   所以據牛頓第三定律探測板受到粒子的沖擊力F′=F₁+F₂=$\frac{56}{45}$N₀mv₀．
答：（1）離子束從小孔O射入磁場后打到x軸的區間為2a--4a．
（2）調整磁感應強度的大小，可使速度最大的離子恰好打在探測板右端，此時的磁感應強度大小為$\frac{4}{3}{B}_{0}$．
（3）保持磁感應強度B₁不變，求每秒打在探測板上的離子數N為$\frac{2}{3}{N}_{0}$；若打在板上的離子80%被吸收，20%被反向彈回，彈回速度大小為打板前速度大小的0.6倍，探測板受到粒子的沖擊力為$\frac{56}{45}$N₀mv₀．

點評 此題的關鍵點在于求打在探測板上的粒子數，進入磁場的所有粒子由于速度不同，打在x軸上的位置不同，由打在探測板區間范圍與打在x軸上的區間范圍的比例，求出打在探測板上的粒子數；至于求粒子對探測板的沖擊力，取1s鐘先求出打在探測板上所有粒子動量的變化，據動量定理，這些動量的變化是由于受到探測板沖量的緣故，從而求出對探測板的沖擊力．