Question

天文工作者觀測到某行星的半徑為r₀，自轉周期為T₀，它有一顆衛星，軌道半徑為r，繞行星公轉周期為T．
求：
（1）該行星表面的重力加速度g為多大？
（2）要在此行星的赤道上發射一顆同步人造衛星，使其軌道在赤道上方，則該同步衛星離地表的高度h為多大？

Answer 1

分析：（1）衛星繞行星做圓周運動的向心力由行星的萬有引力提供，行星表面的物體受到的重力等于行星對它的萬有引力，據此列方程可以求出行星表面的重力加速度．
（2）同步衛星的周期等于行星自轉周期，它做圓周運動的向心力由行星對它的萬有引力提供，由牛頓第二定律列方程，可以求出同步衛星到地表的高度．

解答：解：（1）設行星質量是M，衛星質量是m，
對衛星環，由牛頓第二定律得：

GMm

r2

=m(

2π

T

)2r  ①，
設行星表面上一物體質量為m′，
則對該物體有：

GMm′

r02

=m′g  ②，
聯立①②得，g=

4π2r3

T2r02

  ③；
（2）設同步衛星距地面的高度是h，
對同步衛星，由牛頓第二定律可得：

GMm″

(r0+h)2

=m″(

2π

T0

)2(r0+h) ④，
聯立①④（或②③④）解得：h=r(

T0

T

)

2

3

-r0，h=r?

3	T 2 0 T2

-r0．
答：（1）該行星表面的重力加速度g=

4π2r3

T2 r 2 0

．
（2）該同步衛星離地表的高度h為h=r(

T0

T

)

2

3

-r0（或 h=r?

3	T 2 0 T2

-r0）．

點評：本題考查了求重力加速度及衛星高度問題，知道萬有引力提供向心力、熟練應用萬有引力公式、牛頓第二定律即可正確解題．