Question

天文工作者觀測到某行星的半徑為R₁，自轉周期為T₁，它有一顆衛星，軌道半徑為R₂，繞行星公轉周期為T₂．若萬有引力常量為G，求：
（1）該行星的平均密度；
（2）該行星的地表重力加速度；
（3）該行星同步衛星的運行軌道半徑．

Answer 1

分析：（1）根據萬有引力提供衛星圓周運動的向心力可以列式求出行星的質量M，進一步求密度；
（2）根據重力等于萬有引力，列式求得行星的地表重力加速度；
（3）根據萬有引力提供向心力列式，求出行星同步衛星的軌道半徑．

解答：解：（1）據萬有引力提供衛星圓周運動的向心力，有

GMm

R 2 2

=m(

2π

T2

)2R2 ①
得到 M=

4π2R23

GT22

又M=ρ

4

3

πR13，
∴行星的密度 ρ=

3π R 3 2

G T 2 2 R 3 1

（2）在行星的地表，有

GMm

R 2 1

=mg，②
有g=

4π2R23

R12T22

（3）對于同步衛星，有

GMm

r2

=m(

2π

T1

)2r，③
由①③解得r=

3	T12 T22

R2
答：
（1）該行星的平均密度為

3π R 3 2

G T 2 2 R 3 1

；
（2）該行星的地表重力加速度為

4π2 R 2 2

R 2 1 T 2 2

；
（3）該行星同步衛星的運行軌道半徑為

3	T 2 1 T 2 2

R2．

點評：解決問題的關鍵根據萬有引力提供圓周運動的向心力，及萬有引力等于重力，理清解題思路，難度不大．