Question

18．在萬有引力定律研究太陽系中的行星圍繞太陽運動時，我們可以根據地球的公轉周期，求出地球的質量．在運算過程中，采用理想化方法，把太陽和地球看成質點，還做了把地球的運動簡化為勻速圓周運動和忽略其它星體對地球的萬有引力的簡化處理．有一人造天體飛臨某個行星，并進入該行星的表面圓軌道，測出該天體繞行星運行一周所用的時間為T，則這顆行星的密度是$\frac{3π}{G{T}^{2}}$．

Answer 1

分析 地球繞太陽的運動軌道是橢圓，且速率不等，而我們在處理時，把地球的運動簡化為勻速圓周運動，并且忽略其它星體對地球的萬有引力，人造天體繞行星做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式求出中心體的質量，根據密度公式求出密度．

解答 解：地球繞太陽的運動軌道是橢圓，且在近日點速度比較快，遠日點速度比較慢，而我們在處理時，把地球的運動簡化為勻速圓周運動，并且忽略其它星體對地球的萬有引力，
研究人造天體繞行星表面做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
根據密度公式得：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$
聯立方程解得：$ρ=\frac{3π}{G{T}^{2}}$
故答案為：把地球的運動簡化為勻速圓周運動；忽略其它星體對地球的萬有引力；$\frac{3π}{G{T}^{2}}$

點評 本題考查了萬有引力在天體中的應用，解題的關鍵在于找出向心力的來源，并能列出等式解題．在行星表面運動，軌道半徑可以認為就是行星的半徑