Question

13．如圖所示，軌道ABCD處于豎直平面內，其中光滑斜面軌道AB與光滑圓弧軌道BCD相切于B點，O點為圓心，C、D分別為軌道的最低點和最高點．斜面軌道AB與水平面夾角為45°，圓弧軌道BCD半徑為5m．一質量為1kg的物塊在斜面軌道AB上由靜止釋放．忽略空氣阻力作用，g取10m/s²．
（1）若物塊恰好通過最高點D，求其經過C點時對軌道的壓力大小．
（2）若物塊恰好通過最大高點D，求其飛出后落在斜面軌道AB上時據B點的距離．
（3）若要使物塊沿圓弧軌道BCD上滑的過程中不脫離軌道，則釋放點距B點的距離應滿足什么條件．

Answer 1

分析 （1）物塊恰好通過最高點D，則在D點有重力提供向心力，根據向心力公式列式求出D點速度，從C到D的過程中，根據動能定理求出C點速度，再在C點根據向心力公式列式求解；
（2）設距離B的距離為x，根據平拋運動基本公式求解即可；
（3）若不若離軌道，則有兩種情況：①能通過最高點，②在圓形軌道上滑的高度不超過O點所在高度，根據機械能守恒定律列式求解．

解答 解：（1）滑塊恰好能通過圓弧軌道最高點D，滿足：
$mg=m\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$，
從C到D的過程中，由動能定理得：$\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=-mg•2R$，
小球運動到C點時，由牛頓第二定律得：
${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
代入數據，聯立解得：F_N=60N．
根據牛頓第三定律可知，其經過C點時對軌道的壓力大小為60N
（2）物塊從D點飛出后做平拋運動，設距離B的距離為x，則有：
xcos45°+Rsin45°=v_Dt
R+Rcos45°-xsin45°=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得：x=5m
（3）若不若離軌道，則有兩種情況：
①能通過最高點，則${F}_{壓}+mg=m\frac{{{v}_{D2}}^{2}}{R}$，F_壓＞0，
取B點為參考面，則有：$mg{x}_{1}sin45°=\frac{1}{2}m{{v}_{D2}}^{2}+mg（R+Rcos45°）$
解得：x₁＞15.6m
②在圓形軌道上滑的高度不超過O點所在高度，則有：
mgx₂sin45°=mgRcos45°
解得：x₂＜5m
答：（1）若物塊恰好通過最高點D，其經過C點時對軌道的壓力大小為60N．
（2）若物塊恰好通過最大高點D，其飛出后落在斜面軌道AB上時據B點的距離為5m．
（3）若要使物塊沿圓弧軌道BCD上滑的過程中不脫離軌道，則釋放點距B點的距離應滿足x₁＞15.6m或x₂＜5m．

點評 本題考查了動能定理、機械能守恒和牛頓第二定律的綜合運用，知道最高點和最低點向心力的來源，結合牛頓第二定律和機械能守恒進行求解．