Question

4．如圖所示，在光滑的水平面上有一質量為m的小球B，用勁度系數為k的輕彈簧連接組成一個彈簧振子，小球B靜止在平衡位置．質量為m的小球A，從半徑為R的光滑圓弧形軌道，離地高為h（h＜＜R）處的C點，由靜止下滑，運動到O點與B球發生彈性碰撞進取終A球又返回到離地高為h的C點，之后這一過程又循環往復地進行下去，已知彈簧振子的周期T=2$π\sqrt{\frac{m}{k}}$，則有s=2h．試求該系統的運動周期，結果用m，k，h，R表示．

Answer 1

分析 由題意可知，小球的運動周期由三部分組成：與彈簧接觸的過程中做簡諧振動，在OO′之間做勻速直線運動，在圓弧面上做單擺運動，分別以各自的規律求出三段運動的時間，然后求出即可求出周期．

解答 解：因為h＜＜R，所以α＜5°，故A球從C由靜止滑到O′的過程是類單擺運動，A球從O′到O的運動為勻速直線運動．A球向左運動到O點和B球發生第一次彈性碰撞，由于A、B兩球質量相等，所以A、B兩球碰撞前后交換速度，故碰后A球靜止在O點，B球做簡諧運動．當B球做簡諧運動回到O點時，其速度與A、B兩球第一次碰撞前A球的速度大小相等，此時，B球和A球發生第二次碰撞，碰后B球靜止，A球以和它向左運動時相等的速度勻速向右運動向O′點，再一次做類單擺運動回到C點．此后反復循環．
設A球做類單擺運動的周期為T₁，由單擺周期公式得 T₁=2$π\sqrt{\frac{R}{g}}$
A球從C向O′的往復時間為：t₁=$\frac{1}{2}×{T_1}=π×\sqrt{\frac{R}{g}}$
設A球由C運動向O′的速度為υ，由機械能守恒定律得$mgh=\frac{1}{2}m{υ^2}$
所以：$υ=\sqrt{2gh}$
所以A球從O′到O的往復時間為：${t}_{2}=2×\frac{s}{v}=\frac{2×2h}{\sqrt{2gh}}=2\sqrt{\frac{2h}{g}}$
設B球做簡諧運動的周期為T₃，由彈簧振子的周期公式得  T₃=2$π\sqrt{\frac{m}{k}}$
∴B球做簡諧運動的往復時間為  t₃=$\frac{1}{2}$T₃      
即：t₃=$π\sqrt{\frac{m}{k}}$
綜上所述，題中所給系統的運動周期為 T=t₁+t₂+t₃=$π\sqrt{\frac{R}{g}}$+2$\sqrt{\frac{2h}{g}}$+$π\sqrt{\frac{m}{k}}$
答：該系統的運動周期為$π\sqrt{\frac{R}{g}}$+2$\sqrt{\frac{2h}{g}}$+$π\sqrt{\frac{m}{k}}$．

點評 該題設計的情景比較復雜，小球的周期包括簡諧振動的半個周期、單擺的半個周期以及OO′的勻速直線運動，要注重對運動過程的分析．