Question

18．如圖所示，在邊長為4l的正方形abcd區域內有方向豎直向上，電場強度為E的勻強電場，在長為4l、寬為l的長方形aa′b′b區域內有垂直紙面向里、磁感應強度為B的勻強磁場．將一帶電小球從距離ab邊某高度處由靜止釋放，小球從ab中點O進入aa′b′b區域并恰好做半徑為2l的勻速圓周運動．已知重力加速度為g，求：
（1）帶電小球的電荷量與質量之比；
（2）小球從釋放到射出電場所需要的時間．

Answer 1

分析 （1）帶電小球進入電磁場后做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，重力與電場力合力為零，據此求出荷質比．
（2）帶電小球在電磁場中做勻速圓周運動，求出小球轉過的圓心角，然后求出在磁場中的運動時間，離開磁場后小球做勻速直線運動，求出在電場中的運動時間，然后求出總的運動時間．

解答 解：（1）帶電小球在電磁場區域做勻速圓周運動，
重力與電場力合力為零，洛倫茲力提供向心力，
則：mg=qE，解得：$\frac{q}{m}$=$\frac{g}{E}$；
（2）小球在電磁場區域做勻速圓周運動，
洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，由題意知：r=2l，解得：v=$\frac{2glB}{E}$，
小球進入電磁場前做自由落體運動，
自由落體運動時間：t₁=$\frac{v}{g}$=$\frac{2lB}{E}$，
小球在磁場中轉過的圓心角為θ：sinθ=$\frac{l}{r}$=$\frac{l}{2l}$=$\frac{1}{2}$，θ=30°，
粒子在磁場中做圓周運動的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
在磁場中的運動時間：t₂=$\frac{θ}{360°}$T=$\frac{πm}{6qB}$；
小球離開磁場后做勻速直線運動，速度方向與豎直方向PP′成30°角，
Pb′=rcos30°=$\sqrt{3}$l，b′c=3l，小球恰好從c點射出，
小球離開磁場直到離開電場所用時間：t₃=$\frac{Pc}{v}$=$\frac{2\sqrt{3}l}{v}$，
小球的運動時間：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{2Bl}{E}$+$\frac{E（π+6\sqrt{3}）}{6Bg}$；
答：（1）帶電小球的電荷量與質量之比為$\frac{g}{E}$；
（2）小球從釋放到射出電場所需要的時間為$\frac{2Bl}{E}$+$\frac{E（π+6\sqrt{3}）}{6Bg}$．

點評 本題考查了帶電小球在復合場中的運動，小球先做自由落體運動，然后做勻速圓周運動，最后做勻速直線運動，分析清楚小球的運動過程是解題的前提與關鍵，應用平衡條件、牛頓第二定律與運動學公式可以解題．