Question

8．某行星和地球繞太陽公轉的軌道均可視為圓．每過N年，該行星會運行到日地連線的延長線上，如圖所示．地球和行星做圓周運動所需的向心力來源于萬有引力，該行星與地球的公轉半徑比為$（\frac{N}{N-1}）^{\frac{2}{3}}$．

Answer 1

分析 由圖可知行星的軌道半徑大，那么由開普勒第三定律知其周期長，其繞太陽轉的慢．每過N年，該行星會運行到日地連線的延長線上，說明N年地球比行星多轉1圈，即行星轉了N-1圈，從而再次在日地連線的延長線上，那么，可以求出行星的周期是$\frac{N}{N-1}$年，接著再由開普勒第三定律求解該行星與地球的公轉半徑比．

解答 解：地球和行星做圓周運動所需的向心力來源于地球和行星受到的萬有引力；
由圖可知行星的軌道半徑大，那么由開普勒第三定律知其周期長．每過N年，該行星會運行到日地連線的延長線上，說明從最初在日地連線的延長線上開始，每一年地球都在行星的前面比行星多轉圓周的N分之一，N年后地球轉了N圈，比行星多轉1圈，即行星轉了N-1圈，從而再次在日地連線的延長線上．所以行星的周期是$\frac{N}{N-1}$年，根據開普勒第三定律有$\frac{{{r}_{地}}^{3}}{{{r}_{行}}^{3}}=\frac{{{T}_{地}}^{2}}{{{T}_{行}}^{2}}$，即：$\frac{{r}_{行}}{{r}_{地}}$=$\root{3}{\frac{{{T}_{行}}^{2}}{{{T}_{地}}^{2}}}$=$（\frac{N}{N-1}）^{\frac{2}{3}}$
故答案為：萬有引力，$（\frac{N}{N-1}）^{\frac{2}{3}}$

點評 解答此題的關鍵由題意分析得出每過N年地球比行星多圍繞太陽轉一圈，由此求出行星的周期，再由開普勒第三定律求解即可．