Question

18．質量為m=1kg的小物塊輕輕放在水平勻速運動的傳送帶上的P點，隨傳送帶運動到A點后水平拋出，小物塊恰好無碰撞的從B點進入豎直光滑圓弧軌道下滑．B、C為圓弧的兩端點，其連線水平，斜面與圓弧軌道在C點相切連接（小物塊經過C點時機械能損失不計）．已知圓弧半徑R=1.0m，圓弧對應圓心角θ=106°，軌道最低點為O，A點距水平面的高度h=0.8m．設小物塊首次經過C點時為零時刻，在t=0.8s時刻小物塊經過D點，小物塊與斜面間的滑動摩擦因數為μ=$\frac{1}{3}$，空氣阻力不計．（g=10m/s²sin53°=0.8，cos53°=0.6）試求：
（1）小物塊離開A點的水平初速度大�。�
（2）小物塊經過O點時對軌道壓力的大小．
（3）斜面上CD間的距離．

Answer 1

分析 （1）利用平拋運動規律，在B點對速度進行正交分解，得到水平速度和豎直方向速度的關系，
而豎直方向速度V_y=$\sqrt{2gh}$顯然易求，則水平速度V₀可解．
（2）首先利用動能定理解決物塊在最低點的速度問題，然后利用牛頓第二定律在最低點表示出向心力，則滑塊受到的彈力可解．根據牛頓第三定律可求對軌道的壓力．
（3）物塊在軌道上上滑屬于剎車問題，要求出上滑的加速度、所需的時間；再求出下滑加速度、距離，利用勻變速直線運動規律公式求出位移差．

解答 解：（1）對小物塊，由A到B有：v_y²=2gh
在B點有：$tan\frac{θ}{2}=\frac{v_y}{v_0}$
所以：v₀=3m/s．
（2）對小物塊，由B到O由動能定理可得：
$mgR（1-sin{37°}）=\frac{1}{2}mv_O^2-\frac{1}{2}mv_B^2$
其中${v}_{B}=\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5m/s$
在O點$N-mg=m\frac{v_O^2}{R}$
所以N=43N
由牛頓第三定律知對軌道的壓力為N′=43N
（3）物塊沿斜面上滑：mgsin53°+μmgcos53°=ma₁
代入數據得：a₁=10m/s²
物塊沿斜面下滑的過程有：mgsin53°-μmgcos53°=ma₂
代入數據得：a₂=6m/s²
由機械能守恒知：v_c=v_B=5m/s
小物塊由C上升到最高點歷時：${t_1}=\frac{v_c}{a_1}=0.5s$
小物塊由最高點回到D點歷時：t₂=0.8s-0.5s=0.3s
故${S_{CD}}=\frac{v_c}{2}{t_1}-\frac{1}{2}{a_2}t_2^2$
即：S_CD=0.98m．
答：（1）小物塊離開A點的水平初速度是3m/s．
 （2）小物塊經過O點時對軌道的壓力是43N
 （3）斜面上CD間的距離S_CD是0.98m

點評 本題是一個單物體多過程的力學綜合題，把復雜的過程分解成幾個分過程是基本思路．