Question

18．如圖1所示，一根輕質彈簧上端固定在天花板上，下端掛一小球（可視為質點），彈簧處于原長時小球位于O點．將小球從O點由靜止釋放，小球沿豎直方向在OP之間做往復運動，如圖2所示．小球運動過程中彈簧始終處于彈性限度內．不計空氣阻力，重力加速度為g．
（1）在小球運動的過程中，經過某一位置A時動能為E_k1，重力勢能為E_p1，彈簧彈性勢能為E_彈1，經過另一位置B時動能為E_k2，重力勢能為E_p2，彈簧彈性勢能為E_彈2．請理論探究彈簧、小球和地球組成的系統機械能守恒；
（2）已知彈簧勁度系數為k．以O點為坐標原點，豎直向下為x軸正方向，建立一維坐標系O-x，如圖2所示．
①請在圖3中畫出小球從O運動到P的過程中，彈簧彈力的大小F隨相對于O點的位移x變化的圖象．
根據F-x圖象求出小球從O運動到任意位置x的過程中彈簧彈力所做的功W，以及小球在位置x時彈簧的彈性勢能E_彈；
②已知小球質量為m．求小球經過OP中點時瞬時速度的大小v．

Answer 1

分析 （1）根據動能定理、重力做功與重力勢能的關系、彈力做功與彈性勢能的關系分別列式，即可證明；
（2）畫出F-x圖象，該圖象與坐標軸所圍的面積表示彈力做功，求出彈力做功從而得到彈簧的彈性勢能E_彈；
小球由O點到OP中點，根據動能定理列式．小球由O點到P點，根據機械能守恒定律列式，聯立解得v．

解答 解：（1）設重力做的功為W_G，彈力做的功為W_彈
根據動能定理得     W_G+W_彈=E_k2-E_k1          
由重力做功與重力勢能的關系  W_G=E_p1-E_p2     
由彈力做功與彈性勢能的關系 W_彈=E_彈1-E_彈2     
聯立以上三式可得   E_k1+E_p1+E_彈1=E_k2+E_p2+E_彈2；
（2）①．F-x圖象如右圖所示                          
圖中的圖線和x軸圍成的面積表示功的大小
所以彈力做功為 W=-$\frac{1}{2}$kx²，
由彈力做功與彈性勢能的關系 W_彈=0-E_彈
解得  E_彈=$\frac{1}{2}$kx²；
②．小球由O點到OP中點，根據動能定理得：
  mgx-$\frac{1}{2}$kx²=$\frac{1}{2}$mv²-0
小球由O點到P點，根據機械能守恒定律得：
 mg•2x=$\frac{1}{2}$k（2x）²
解得  v=g$\sqrt{\frac{m}{k}}$
答：（1）證明見上．
（2）①、小球從O運動到任意位置x的過程中彈力所做的功W是-$\frac{1}{2}$kx²，以及小球在此位置時彈簧的彈性勢能E_彈是$\frac{1}{2}$kx²．
②．已知小球質量為m．小球經過OP中點時瞬時速度的大小v是g$\sqrt{\frac{m}{k}}$．

點評 證明機械能守恒，關鍵要把握合外力做功與動能變化的關系、重力做功與重力勢能的關系、彈力做功與彈性勢能的關系．要注意彈力做功等于彈性勢能變化量的負值．