Question

3．地球上空有人造地球同步通訊衛星，它們向地球發射微波．但無論同步衛星數目增到多少個，地球表面上兩級附近總有一部分面積不能直接收到它們發射來的微波，設想再發射一顆極地衛星，將這些面積覆蓋起來，問：這顆極地衛星繞地球的周期至少有多大？已知地球半徑為R₀，地球表面的重力加速度為g，地球自轉周期為T．

Answer 1

分析 同步衛星總是在赤道上空，其高度也是一定的．由它畫一條到地球表面的切線，可見兩極周圍的區域內就收不到微波通訊．
根據萬有引力提供向心力和數學幾何關系求解．根據幾何關系求出極地衛星的軌道半徑，由萬有引力提供向心力即可求出極地衛星的周期．

解答 解：以m、M分別表示同步衛星和地球的質量，r表示同步衛星到地心的距離，T表示地球的自轉周期，則
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
地球表面萬有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}_{0}^{2}}=mg$
根據幾何關系：$rsinα={R}_{0}^{\;}$
對于極地衛星，軌道半徑為r′，周期為T′
$r′cosα={R}_{0}^{\;}$
有$G\frac{Mm}{r{′}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{T{′}_{\;}^{2}}r′$
得$T′=\sqrt{\frac{r{′}_{\;}^{3}}{{r}_{\;}^{3}}}T$=$（\frac{{R}_{0}^{\;}}{\sqrt{（\frac{g{R}_{0}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}）}-{R}_{0}^{2}}）^{\frac{3}{2}}T$
答：這顆極地衛星繞地球的周期至少為$（\frac{{R}_{0}^{\;}}{\sqrt{（\frac{g{R}_{0}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}）}-{R}_{0}^{2}}）^{\frac{3}{2}}T$

點評 解決該題關鍵要根據題意找出收不到微波區域的面積，善于把物理問題與數學幾何圖形結合運用