Question

1．如圖所示，空間區域Ⅰ、Ⅱ有勻強電場和勻強磁場，其中電場方向豎直向上，區域Ⅰ中磁場垂直紙面向內，區域Ⅱ中磁場垂直紙面向外，磁感應強度大小均為B=$\frac{mv}{qd}$，矩形區域足夠長，寬為2d，在AD邊中點O處有一粒子源，沿紙面向磁場中各方向均勻地輻射出速率均為v的帶電粒子，該粒子進入場區后恰能作勻速圓周運動，帶電粒子質量m，電荷量為q．已知重力加速度為g．
（1）試判斷該粒子的電性并求出電場強度的大小；
（2）從BC邊界射出的粒子中，從哪一點射出運動的時間最短？最短時間為多少？

Answer 1

分析 （1）帶電粒子進入復合場后，恰能做勻速圓周運動，合力為洛倫茲力，重力與電場力平衡，列出平衡方程求出電場強度；
（2）粒子作兩次圓周運動以后才能從BC邊離開，當在Ⅰ、Ⅱ區域中均有最短運動時間時，總時間也最短，根據幾何知識，半徑一定時，弦最短的圓弧所對應圓心角最小，運動時間最短．粒子最終從BC的中點飛出時，時間最短，由幾何關系求出圓心角，求出運動時間；

解答 解：（1）帶電粒子進入復合場后，恰能做勻速圓周運動，合力為洛倫茲力，重力與電場力平衡，重力豎直向下，電場力豎直向上，即小球帶正電．由qE=mg解得：$E=\frac{mg}{q}$
（2）由$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
可得粒子在磁場中的軌跡半徑R=d
粒子作兩次圓周運動以后才能從BC邊離開，當在Ⅰ、Ⅱ區域中均有最短運動時間時，總時間也最短，根據幾何知識，半徑一定時，弦最短的圓弧所對應圓心角最小，運動時間最短．如圖所示，粒子最終從BC的中點飛出時，時間最短

如圖所示，EO⊥AD，因為$\overline{EO}=2R$，對應的圓心角$θ=\frac{π}{3}$
又因為 $qvB=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$ 得運動周期為：$T=\frac{2πm}{qB}$
運動時間為：$t=\frac{θ}{2π}T=\frac{\frac{π}{3}}{2π}\frac{2πm}{qB}=\frac{πm}{3qB}$，
根據對稱性可知總時間為：t_總=2t=$\frac{2πm}{3qB}$ 即為最短時間 
答：（1）該粒子的帶正電并求出電場強度的大小$\frac{mg}{q}$；
（2）從BC邊界射出的粒子中，從BC中點射出運動的時間最短，最短時間為$\frac{2πm}{3qB}$

點評 本題考查帶電粒子在復合場中的運動，關鍵是要能正確的畫出粒子的運動軌跡，根據幾何關系找出圓心，求出半徑，再根據洛倫茲力提供向心力列式求解．