Question

4．在水平面內有一質量為M、半徑為R、質量分布均勻的圓環，其幾何軸與水平面垂直，若圓環能經受的最大張力為T，在不考慮重力影響下，求此圓環可以繞幾何軸旋轉的最大角速度（　�。�

• A． ω=$\frac{\sqrt{2πT}}{\sqrt{MR}}$
• B． ω=$\frac{2\sqrt{πT}}{\sqrt{MR}}$
• C． ω=$\frac{\sqrt{2T}}{MR}$
• D． ω=$\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{MR}}$

Answer 1

分析 在距離轉軸最遠處取一小段，由幾何關系求出質量，由向心力的表達式求出需要的向心力，然后結合力的合成即可求出．

解答 解：在圓環上取很一小段，長度為l，質量為dm，對應的圓心角為dθ，則：
$l=\frac{R•dθ}{2π}$；
所以：dm=$\frac{l}{2πR}•M=\frac{M}{2π}•dθ$
dm做圓周運動需要的向心力為：f=dmω²R=$\frac{M}{2π}•{ω}^{2}R•dθ$
m受力如圖：

根據圖可以分析得到，張力T與f大小的關系為：f=2T•sin$\frac{dθ}{2}$
根據微分的知識可得此圓環可以繞幾何軸旋轉的最大角速度ω=$\frac{\sqrt{2πT}}{\sqrt{MR}}$．故A正確，BCD錯誤．
故選：A

點評 該題為競賽輔導的題目，解答的關鍵是使用微元法得出．