Question

10．如圖所示，整個軌道在同一豎直平面內，直軌道AB在底端通過一段光滑的曲線軌道與一個光滑的四分之一圓弧軌道CD平滑連接，圓弧軌道的最高點C與B點位于同一高度．圓弧半徑為R，圓心O點恰在水平地面．一質量為m的滑塊（視為質點）從A點由靜止開始滑下，運動至C點時沿水平切線方向離開軌道，最后落在地面上的E點．已知A點距離水平地面的高度為H，OE=2R，重力加速度取g，不計空氣阻力．求：
（1）滑塊運動到C點時的速度大小v_C；
（2）滑塊運動過程中克服軌道摩擦力所做的功W_f；
（3）若滑塊從直軌道上A′點由靜止開始下滑，運動至C點時對軌道恰好無壓力，則A′點距離水平地面的高度為多少？

Answer 1

分析 （1）滑塊從C到E做平拋運動，已知水平位移和豎直位移，可由平拋運動兩個分位移的公式求出C點的速度．
（2）對于從A到C的過程，運用動能定理可求得克服軌道摩擦力所做的功W_f．
（3）滑塊運動至C點時對軌道恰好無壓力，由重力充當向心力，由牛頓第二定律可求出經過C點時的速度，再由動能定理求A′點距離水平地面的高度．

解答 解：（1）滑塊從C到E做平拋運動，水平位移為2R，豎直位移為R
則有：
  2R=v_Ct、R=$\frac{1}{2}$gt²，可解得 v_C=$\sqrt{2gR}$                                         
（2）對于從A到C的過程，運用動能定理得
  mg（H-R）-W_f=$\frac{1}{2}$mv_C²-0                                         
解得，滑塊運動過程中克服軌道摩擦力所做的功 W_f=mg（H-2R）                                                             
（3）設A′點的距離水平地面的高度為h．
在C點有 mg=m$\frac{{v}_{C}^{′2}}{R}$ ①
從A′到C，由動能定理得
 mg（h-R）-W_f′=$\frac{1}{2}$mv_C′²-0  ②
滑塊在直軌道上下滑時重力做功與克服摩擦力做功的比值是定值，
所以有：$\frac{mg（H-R）}{mg（H-2R）}$=$\frac{mg（h-R）}{Wf’}$  解得W_f′=mg$\frac{（H-2R）（h-R）}{（H-R）}$，代入②式         
聯立①、②兩式，可解得 h=$\frac{H+R}{2}$               
答：
（1）滑塊運動到C點時的速度大小v_C是$\sqrt{2gR}$．
（2）滑塊運動過程中克服軌道摩擦力所做的功W_f是mg（H-2R）．  
（3）A′點距離水平地面的高度為$\frac{H+R}{2}$．

點評 本題要分析清楚物體的運動情況，正確選擇研究過程，尋找每個過程和狀態所遵守的物理規律是關系，要掌握平拋運動的研究方法：運動的分解法．