Question

（2009?泉州二模）在圖甲所示的空間存在磁感應強度變化規律如圖乙所示的磁場，并設垂直xoy平面向里為磁感應強度的正方向．在t=0時一個初速度大小為v₀的帶正電粒子（重力不計）從原點O沿x軸正方向射出，粒子的比荷 

q

m

=

2π

B0t0

．
（1）求粒子從O點出發后回到O點所用的時間t₁；
（2）求粒子在0～20t₀時間內運動的路程L；
（3）若在圖甲所示的空間還同時存在場強變化規律如圖丙所示的電場，并設沿x軸正方向為場強的正方向，求在0～20t₀時間內粒子運動的路程s．

Answer 1

分析：設粒子在0～t₀時間內做勻速圓周運動，可求解；分段計算勻速運動的路程，求和；
加上電場后粒子完成一個圓周運動后做勻加速直線運動

解答：解：
（1）設粒子在0～t₀時間內做半徑為R的勻速圓周運動，則
B₀qv₀=

m v 2 0

R

R=

mv0

qB0

   
 T=

2πR

v0

=

2πm

qB0

                                      
又     

q

m

=

2π

B0t0

解得   T=t₀                                                          
t₁=t₀                                                      
（2）粒子在0～t₀時間內的路程 L₁=υ₀?t₀                                  
粒子在t₀～2t₀時間內做勻速運動的路程 L₂=υ₀t₀                         
所以  L=

20t0

2t0

（L₁+L₂）=20υ₀t₀                                         
（3）在0～20t₀時間內粒子的運動軌跡如圖所示
設粒子做勻加速直線運動的加速度為a，總路程為s₁，則
s₁=υ₀?10t₀+

1

2

a（10t₀）²                                            
a=

qE0

m

                                                         
又   E₀=

B0v0

2π

a=

v0

t0

解得  s₁=60υ₀t₀                                                       
粒子做勻速圓周運動的速度大小分別為υ₀、2υ₀、3υ₀、…、10υ₀
設粒子做勻速圓周運動的總路程為s₂，則
s₂=2πR₁+2πR₂+…+2πR₁₀
=2π（

mv0

qB0

+

2mv0

qB0

+

3mv0

qB0

+…+

10mv0

qB0

）=55υ₀t₀                   
s=s₁+s₂=115υ₀t₀                               
答：（1）求粒子從O點出發后回到O點所用的時間為t₀；
（2）粒子在0～20t₀時間內運動的路程為20υ₀t₀；  
（3）粒子運動的路程115υ₀t₀．

點評：本題考查帶電粒子在變化磁場中的運動，關鍵要分析粒子的運動過程，綜合能力較強．