Question

8．長為L不可伸長的輕繩，一端固定于O點，另一端系一個質量為m的小球，最初小球位于A點，細繩伸直并且水平，如圖所示，然后將小球由靜止釋放，它將在豎直平面內擺動．若預先在該平面內Oˊ點處釘一只小釘，OOˊ與豎直方向的夾角為θ，細繩被小釘擋住后，小球將改變運動方向．為了使小球能繞Oˊ點在同一豎直平面內做圓周運動，OOˊ的距離d應滿足什么條件？

Answer 1

分析 抓住小球做圓周運動過最高點有最小速度，由重力等于向心力求得最小速度，結合動能定理或機械能守恒定律求出OO′的長度d所允許的范圍．

解答 解：設小球由A運動到B時的速度為v₁，在以為圓心的圓軌道最低點C、最高點D的速度分別為v₂和v₃，圓軌道的半徑為R．
由機械能守衡定律得：
從A到B的過程有：$mgLcosθ=\frac{1}{2}mv_1^2$
從B到C的過程有：$\frac{1}{2}mv_1^2+mgR（1-cos?）=\frac{1}{2}mv_2^2$
從C到D的過程有：$\frac{1}{2}mv_3^2+2mgR=\frac{1}{2}mv_2^2$
若小球恰能通過最高點D，則有：$mg=m\frac{v_3^2}{R}$
以上各式聯立求解得  $R=\frac{2Lcosθ}{2cosθ+3}$
要使小球能繞O'點在豎直平面內做圓周運動，OO'的距離應滿足的條件是 d≥L-R=$\frac{3L}{2cosθ+3}$
即$d≥\frac{3L}{2cosθ+3}$
答：為了使小球能繞Oˊ點在同一豎直平面內做圓周運動，OOˊ的距離d應滿足的條件是$d≥\frac{3L}{2cosθ+3}$．

點評 本題綜合考查了機械能守恒和牛頓第二定律，關鍵抓住小球在最高點臨界條件：重力等于向心力，求得最小速度．