Question

3．如圖所示，兩個半徑為R的四分之一圓弧構成的光滑細管道ABC豎直放置，且固定在光滑水平面上，圓心連線O₁O₂水平．輕彈簧左端固定在豎直擋板上，右端與質量為m的小球接觸（不拴接，小球的直徑略小于管道內徑），長為R的薄板DE置于水平面上，板的左端D到管道右端C的水平距離為R．開始時彈簧處于鎖定狀態，具有一定的彈性勢能，重力加速度為g．解除鎖定，小球離開彈簧后進入管道，最后從C點拋出．
（1）若小球經C點時所受的彈力的大小為$\frac{3}{2}$mg，求彈簧鎖定時具有的彈性勢能E_p；
（2）若換用質量為m₁的不同小球，鎖定彈簧發射（鎖定時彈簧彈性勢能不變），小球從C點拋出后能擊中薄板DE，求小球質量m₁滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）小球經過C點時，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求出小球經過C點時的速度，再根據能量守恒定律求解彈簧鎖定時具有的彈性勢能E_p；
（2）小球離開C后做平拋運動，由平拋運動基本公式結合能量守恒定律求出小球質量m₁滿足的條件．

解答 解：（1）在C點，以小球為研究對象，則有：
mg+F=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
據題得：F=$\frac{3}{2}$mg
對從彈簧解鎖到小球C的過程，根據能量守恒定律得：
E_p=2mgR+$\frac{1}{2}$mv_C²
聯立解得：E_p=$\frac{13}{4}$mgR
（2）小球離開C點后做平拋運動，
豎直方向：2R=$\frac{1}{2}$gt²，
水平方向：x₁=v₁t，
若要小球擊中薄板DE，應滿足：R≤x₁≤2R，
解得：$\frac{1}{2}$$\sqrt{gR}$≤v₁≤$\sqrt{gR}$
從A到C的過程中，根據能量守恒定律得：
   E_P=2m₁gR+$\frac{1}{2}$m₁v₁²
解得：$\frac{13}{10}$m≤m₁≤$\frac{26}{17}$m
答：（1）若小球經C點時所受的彈力大小$\frac{3}{2}$mg，求彈簧鎖定時具有的彈性勢能E_p為$\frac{13}{4}$mgR；
（2）小球質量m₁滿足$\frac{13}{10}$m≤m₁≤$\frac{26}{17}$m的條件時，從C點拋出的小球才能擊中薄板DE．

點評 本題的關鍵分析清楚小球的運動過程，把握每個過程和狀態的物理規律，應用能量守恒定律、牛頓第二定律、平拋運動規律即可正確解題．