Question

2．如圖所示，足夠長的木板置于水平地面上，在t=0時刻將一相對于地面靜止的小物塊請放到木板的左端，現用水平向左拉力F作用在木板上．已知物塊與木板間及木板與地面間均有摩擦，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，小物塊質量m=1kg，木板質量M=4kg，物塊與木板間動摩擦力因數μ₁=0.2，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）假設地面光滑，當水平向左拉力F從零開始逐漸增大，求物塊、木板的加速度或加速度表達式；
（2）假設木板與地面間動摩擦因數μ₂=0.36．若撤去力F，給木板水平向左的初速度v₀=7m/s，其他條件不變，求木板運動的最大距離．

Answer 1

分析 （1）先求出m的最大加速度，當M的加速度達到m加速度時，剛好發生滑動；
（2）由牛頓第二定律分別求出加速度，分別求出木板與木塊在拉力作用下的位移和撤去拉力后達到相同速度的位移，即可求得．

解答 解：（1）由題意可知，當物塊的加速度大于木板的加速度時，二者發生相對運動，設恰好要發生相對運動時 的拉力為F₀，此時：${a}_{0}=\frac{{μ}_{1}mg}{m}={μ}_{1}g=0.2×10=2m/{s}^{2}$
對應的拉力：F₀=（M+m）a₀=（4+1）×2=10N．
當拉力小于等于10N時，二者的加速度相等，為：$a=\frac{F}{m+M}=\frac{1}{5}F$
當F＞10N時，物塊受到的摩擦力等于滑動摩擦力，此時：${a}_{m}={μ}_{1}g=2m/{s}^{2}$
木板的加速度：${a}_{M}=\frac{F-{μ}_{1}mg}{M}=\frac{F}{M}-\frac{1}{2}$
（2）假設木板與地面間動摩擦因數μ₂=0.36．若撤去力F，以木板為研究對象，據牛頓第二定律得：F-f₁-f₂=Ma，
由平衡條件得：N₁-N₂-Mg=0，
滑動摩擦力：f₁=μ₁N₁，f₂=μ₂N₂
以物塊為研究對象：N₂=mg，
代入數據解得：a=5m/s²，方向水平向右
此時物塊受到的摩擦力仍然是滑動摩擦力，則加速度：$a′={μ}_{1}g=2m/{s}^{2}$
設經過時間t₁二者的速度相等，則：v_共=v₀-at₁=a′t₁
代入數據得：t₁=1s，v_共=2m/s
此過程中木板的位移：$x={v}_{0}{t}_{1}-\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=7×1-\frac{1}{2}×5×{1}^{2}=4.5$m
假設速度相等后二者的加速度相等，則：${a}_{共}={μ}_{2}g=0.36×10=3.6m/{s}^{2}＞a′$，
即二者若一起運動，則二者共同的加速度大于物塊的最大加速度，所以假設不成立，二者仍然有相對運動．
木板的加速度：$a″=\frac{{f}_{2}-{f}_{1}}{M}$
代入數據得：a″=4m/s²，方向水平向右；
所以從二者速度相等都木板靜止的位移：$x′=\frac{{v}_{共}^{2}}{2a″}$
代入數據得：x′=0.5m
木板的總位移：L=x+x′=4.5+0.5=5m
答：（1）假設地面光滑，當水平向左拉力F從零開始逐漸增大時，①當拉力小于等于10N時，二者的加速度相等，為：$a=\frac{1}{5}F$；
②當F＞10N時，物塊受到的摩擦力等于滑動摩擦力，此時物塊的加速度：${a}_{m}=2m/{s}^{2}$，木板的加速度：${a}_{M}=\frac{F}{M}-\frac{1}{2}$；
（2）假設木板與地面間動摩擦因數μ₂=0.36．若撤去力F，給木板水平向左的初速度v₀=7m/s，其他條件不變，木板運動的最大距離是5m．

點評 滑塊相對于木板的運動，在分別研究兩個物體運動的基礎上，關鍵找到位移關系．求摩擦力時，要根據滑塊所處的狀態，選擇不同的規律進行研究．