Question

14．容器A中裝有大量的質量、電量不同但均帶正電的粒子，粒子從容器下方的小孔S_l不斷飄人加速電場（初速度可視為零）做直線運動通過小孔S₂后，從兩平行板中央垂直電場方向射人偏轉電場．粒子通過平行板后垂直磁場方向進入磁感應強度為B，方向垂直向里的勻強磁場區域，最后打在感光片上，如圖所示．已知加速場S₁、S₂間的加速電壓為u，偏轉電場極板長為L，兩板間距也為L，板間勻強電場強度E=$\frac{2U}{L}$．方向水平向左（忽略板間外的電場），平行板f的下端與磁場邊界ab相交為p，在邊界pb上固定放置感光片．測得從容器A中逸出的所有粒子均打在感光片P、Q之間，且Q距P的長度為3L，不考慮粒子所受重力與粒子間的相互作用，求：
（1）粒子射入磁場時，其速度方向與邊界ab間的夾角；
（2）射到感光片Q處的粒子的比荷（電荷量與質量之比）；
（3）粒子在磁場中運動的最短時間．

Answer 1

分析 （1）粒子先經過加速電場的加速后進入水平勻強電場做類平拋運動，由速度的方向公式直接能求出末速度方向，這是為后續計算做一個鋪墊．
（2）粒子從e板下端與水平方向成45⁰的角射入勻強磁場，偏轉270°后打在Q點，由幾何關系求出粒子做勻速圓周運動的半徑，再由洛侖茲力提供向心力就能求出粒子的比荷．
（3）先判斷出打在何處的粒子的時間最短，由于$t=\frac{θ}{2π}T=\frac{θ}{2π}×\frac{2πm}{qB}=\frac{θm}{qB}$，即電量最大的粒子時間最短，再由半徑公式$r=\frac{mv}{qB}$知電量最大則半徑最小，所以打在P點的粒子時間最短．

解答 解：（1）設質量為m，電量為q的粒子通過孔S₂的速度為v₀    由動能定理：
   $qU=\frac{1}{2}m{v_o}^2$
  粒子在平行板間：L=v_ot
  ${v_x}=\frac{qE}{m}t$
  $tanθ=\frac{v_o}{v_x}$
  聯解以上四式得：tanθ=1     $θ=\frac{π}{4}$
  其速度方向與邊界ad間的夾角$θ=\frac{π}{4}$
（2）粒子從e板下端與水平方向成45⁰的角射入勻強磁場．設質量為m．電量為q的粒子射入
   磁場時的速度為v，做圓周運動的軌道半徑為r  由速度合成知：
   $v=\sqrt{{v_o}^2+{v_x}^2}=\sqrt{2}{v_o}=\sqrt{\frac{4qU}{m}}$
  粒子進入磁場后偏轉270°，由幾何關系可知：r²+r²=（4L）²    所以有：$r=2\sqrt{2}L$
 又因為  $r=\frac{mv}{qB}$
  聯解以上三式得：$\frac{q}{m}=\frac{U}{{2{L^2}{B^2}}}$
  粒子的比荷為：$\frac{U}{{2{L^2}{B^2}}}$
（3）設粒子在磁場中運動的時間為t   則：$t=\frac{θm}{qB}$
   $r=\frac{mv}{qB}=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{mU}{q}}$
   聯解以上兩式得：$t=\frac{{θB{r^2}}}{4U}$
  因為所有粒子在磁場中運動的偏轉角$θ=\frac{3}{2}π$，所以粒子打在P處時間最短
  由幾何知：r²+r²=L²     而 $r=\frac{{\sqrt{2}}}{2}L$
  聯解以上四式得$t=\frac{{\frac{3}{2}πB×\frac{L^2}{2}}}{4U}=\frac{{3πB{L^2}}}{16U}$
  粒子在磁場中的最短時間$\frac{{3πB{L^2}}}{16U}$
答：（1）粒子射入磁場時，其速度方向與邊界ab間的夾角為$\frac{π}{4}$．
（2）射到感光片Q處的粒子的比荷為$\frac{U}{{2{L^2}{B^2}}}$．
（3）粒子在磁場中運動的最短時間為$\frac{{3πB{L^2}}}{16U}$．

點評 本題有幾個巧妙的地方：①加速電壓與偏轉電壓有一定的關系，導致進入磁場的速度方向是一個定值即45°．②由于粒子的質量而電量不同，所以從加速電場出來的速度不同，則進入偏轉電場后再進入磁場的位置不同，從而能區分質量相同而電量不同的粒子．