Question

2．如圖所示，厚度均勻、上表面為長方形的平板ABB′A′靜止在光滑水平面上，平板上OO′所在直線與AB平行，CC′所在直線與OO′垂直，平板上表面的AA′至CC′段是粗糙的，CC′至BB′段是光滑的．將一輕彈簧沿OO′方向放置在平板上，其右端固定在平板BB′端的擋板上，彈簧處于原長時其左端位于CC′線上．
某時刻，一小物塊（可視為質點）以初速度v₀=5.0m/s從平板的AA′端沿OO′方向滑上平板，小物塊運動到CC′后開始開始壓縮彈簧．已知AA′與CC′間的距離L=0.95m，平板和擋板的總質量M=4.0kg，小物塊的質量m=1.0kg，小物塊與平板粗糙面間的動摩擦因數μ=0.20．取重力加速度g=10m/s²，彈簧始終在彈性限度內，小物塊始終沿直線OO′運動．小物塊在平板上運動產生的熱量可表示為Q=fs（式中f為物塊與平板間滑動摩擦力的大小，s為物塊相對于平板在粗糙平面上通過的路程）．
（1）當彈簧的形變量最大時，求小物塊的速度v．
（2）在小物塊壓縮彈簧的過程中，求彈簧所具有的最大彈性勢能E_pm．
（3）請分析說明彈簧恢復原長后，小物塊是否會從平板的AA′端飛離平板．

Answer 1

分析 （1）小物塊滑上平板后，在滑動摩擦力作用下，小物塊做勻減速運動，平板做勻加速運動，物塊壓縮彈簧時，當兩者的速度相等時，彈簧的彈性勢能達到最大，由動量守恒定律求出小物塊的速度v．
（2）再由能量守恒定律求彈簧所具有的最大彈性勢能．
（3）假設小物塊不會從平板的AA′端飛離平板，根據系統的動量守恒和能量守恒求小物塊相對于平板向左滑行的距離，再進行判斷．

解答 解：（1）當彈簧的形變量最大時，小物塊與平板的速度相同，取向右為正方向，由動量守恒定律得
   mv₀=（M+m）v
得 v=$\frac{m{v}_{0}}{M+m}$=$\frac{1×5}{4+1}$=1m/s
（2）由能量守恒定律得：
彈簧所具有的最大彈性勢能  E_pm=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$（M+m）v²-μmgL
代入數據解得 E_pm=8.1J
（3）假設小物塊不會從平板的AA′端飛離平板，小物塊相對于OO′向左滑行時的距離為S，兩者相對靜止．
根據由動量守恒定律得
   mv₀=（M+m）v′
根據能量守恒定律得：
   $\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（M+m）v′²-μmg（L+S）
聯立解得 S=L
可知小物塊不會從平板的AA′端飛離平板
答：
（1）當彈簧的形變量最大時，小物塊的速度v是1m/s．
（2）在小物塊壓縮彈簧的過程中，彈簧所具有的最大彈性勢能E_pm是8.1J．
（3）請分析說明彈簧恢復原長后，小物塊不會從平板的AA′端飛離平板．

點評 本題首先要理清物理過程，抓住隱含的臨界情況和臨界條件：彈簧的形變量最大時兩個物體的速度相同，同時，要抓住能量是如何轉化的，運用動量守恒定律和能量守恒定律結合解答．