Question

19．如圖甲所示，空間存在B=0.5T，方向豎直向下的勻強磁場，MN、PQ是處于同一水平面內相互平行的粗糙長直導軌，間距L=0.2m，R是連接在導軌一端的電阻，ab是跨接在導軌上質量為m=0.1kg的導體棒．從零時刻開始，通過一小型電動機對ab棒施加一個牽引力F，方向水平向左，使其從靜止開始沿導軌做加速運動，此過程中棒始終保持與導軌垂直且接觸良好．圖乙是棒的v-t圖象，其中OA段是直線，AC是曲線，DE是曲線圖象的漸進線，小型電動機在12s末達到額定功率P=4.5W，此后保持功率不變，t=17s時，導體棒ab達最大速度．除R外，其余部分電阻均不計，g=10m/s²．

（1）求導體棒ab在0-12s內的加速度大小a；
（2）求導體棒ab與導軌間的動摩擦因數μ及電阻R的值；
（3）若從0-17s內共發生位移100m，試求12s-17s內，R上產生的熱量Q是多少．

Answer 1

分析 （1）圖象中0-12s內物體做勻變速直線運動，則由該段圖象中的斜率可求得加速度；
（2）由導體切割磁感線時的感應電動勢表達式可求得電動勢大小，由歐姆定律可求得感應電流，則可求和安培力；由牛頓第二定律可得出加速度表達式；同理可求得17s時的加速度表達式，聯立即可求得動摩擦因素及電阻；
（3）由位移公式可求得12s內的位移，則由功能關系可求得R上產生的熱量．

解答 解：（1）導體棒ab在0-12s內做勻加速直線運動，
由v-t圖象可知，加速度：a=$\frac{△v}{△t}$=$\frac{9}{12}$=0.75m/s²．
（2）t₁=12s時，由v-t圖象得速度為：v₁=9m/s，
感應電動勢為 E=BLv，感應電流為：I=$\frac{E}{R}$，
導體棒受到的安培力 F_安=BIL，
因為P=F₁v₁，由牛頓第二定律得  F₁-F_安-μmg=ma
即：$\frac{P}{{v}_{1}}$-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$-μmg=ma，
由圖象知17s末導體棒ab的最大速度為v₂=10m/s，此時加速度為零，P=F₂v₂
同理有：$\frac{P}{{v}_{2}}$-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R}$-μmg=0，解得：μ=0.2，R=0.4Ω；
（3）由v-t圖象知0-12s內，導體棒勻加速運動的位移：x₁=$\frac{{v}_{1}}{2}$t₁=$\frac{9}{2}$×12=54m，
12-17s內，導體棒的位移 x₂=100-54=46m，
由能量守恒定律得：Pt₂-Q-μmgx₂=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²，
代入數據得 4.5×5-Q-0.2×0.1×10×46=$\frac{1}{2}$×0.1×（10²-9²），
解得，R上產生的熱量：Q=12.35 J；
答：（1）導體棒ab在0-12s內的加速度大小a為0.75m/s²；
（2）導體棒ab與導軌間的動摩擦因數μ為0.2，電阻R的值為0.4Ω；
（3）若從0-17s內共發生位移100m，12s-17s內，R上產生的熱量Q是12.35J．

點評 本題考查電磁感應中的能量關系，在解題中要注意分析過程，通過愛力分析找出力和運動的關系；再分析各力的做功情況，可利用能量守恒或功能關系求解．