Question

8．在牛頓運動定律及開普勒三定律的基礎上，將行星繞太陽的運動軌跡視為圓周，試以此模型推導萬有引力定律．

Answer 1

分析 行星繞太陽能做圓周運動，是由引力提供向心力來實現的．再由開普勒第三定律可推導出萬有引力定律．

解答 解：設中心天體的質量為M，環繞天體的質量為m，環繞天體的公轉周期為T，軌道半徑為r；由于中心天體對環繞天體的引力充當向心力，則：
M對m：$F=m\frac{{4{π^2}r}}{T^2}$①
據開普勒第三定律：$\frac{r^3}{T^2}=K$②
由①②式得：$F=\frac{{4{π^2}Km}}{r^2}$③
關系式：$F∝\frac{M}{r^2}$   ④
m對M（據牛三）：${F^/}∝\frac{m}{r^2}$⑤
綜合④⑤式：$F∝\frac{Mm}{r^2}$⑥
寫成等式：$F=G\frac{Mm}{r^2}$
即：太陽與行星間的引力大小與太陽的質量和行星的質量的乘積成正比，與兩者距離的二次方成反比．
答：推導過程如上所示．

點評 解決本題的關鍵能夠建立正確的模型，運用牛頓第二定律、第三定律、開普勒第三定律進行推導．