Question

13．如圖所示，半徑為R的空心球殼，固定在可以繞豎直軸旋轉的水平轉臺上，轉臺轉軸與過球殼球心O的對稱軸OO′重合．轉臺以一定角速度ω勻速轉動，一質量為m的小物塊放入球殼內，經過一段時間后小物塊隨球殼一起轉動且相對球殼靜止，它和O點的連線與OO′之間的夾角θ為60°，重力加速度大小為g．
（1）若ω=ω₀，小物塊受到的摩擦力恰好為零，求ω₀．
（2）若ω=2ω₀，求小物塊受到的摩擦力大小和方向．

Answer 1

分析 （1）若ω=ω₀，小物塊受到的摩擦力恰好為零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求出角速度的大小．
（2）當ω=2ω₀，重力和支持力的合力不夠提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向下，根據牛頓第二定律求出摩擦力的大小．當ω＜ω₀，重力和支持力的合力大于向心力，則摩擦力的方向沿罐壁切線向上，根據牛頓第二定律求出摩擦力的大小．

解答 解：（1）當摩擦力恰為零時：
豎直方向上：Fcosθ-mg=0
水平方向上有：Fsinθ=mω₀²r
根據幾何關系有：r=Rsinθ
解得：ω₀=$\sqrt{\frac{2g}{R}}$           
（2）當ω=2ω₀時，滑塊有沿斜面向上滑的趨勢，摩擦力沿罐壁切線向下：
豎直方向上有：Fcosθ-fsinθ-mg=0
水平方向上有：Fsinθ+fcosθ=mω²r
聯立得：f=2.4mg；
答：（1）若ω=ω₀，小物塊受到的摩擦力恰好為零，ω₀=$\sqrt{\frac{2g}{R}}$；
（2）若ω=2ω₀，小物塊受到的摩擦力大小為2.4mg，方向沿罐壁切線向下．

點評 解決本題的關鍵搞清物塊做圓周運動向心力的來源，結合牛頓第二定律，抓住豎直方向上合力為零，水平方向上的合力提供向心力進行求解．