Question

如圖所示，有三個寬度均相等的區域I、Ⅱ、Ⅲ；在區域I和Ⅲ內分別為方向垂直于紙面向外和向里的勻強磁場（虛線為磁場邊界面，并不表示障礙物），區域I磁感應強度大小為B，某種帶正電的粒子，從孔O₁以大小不同的速度沿圖示與aa′夾角α=30⁰的方向進入磁場（不計重力）．已知速度為v₀和2v₀時，粒子僅在區域I內運動且運動時間相同，均為t₀．
（1）試求出粒子的比荷

q

m

、速度為2v₀的粒子從區域I射出時的位置離O₁的距離L；
（2）若速度為v的粒子在區域I內的運時間為

t0

5

，在圖中區域Ⅱ中O₁O₂上方加豎直向下的勻強電場，O₁O₂下方對稱加豎直向上的勻強電場，場強大小相等，使速度為v的粒子每次均垂直穿過I、Ⅱ、Ⅲ區域的邊界面并能回到O₁點，則請求出所加電場場強大小與區域Ⅲ磁感應強度大小．

Answer 1

分析：（1）速度為υ_o和2υ_o時粒子在區域I內的運動時間相同，故粒子運動的軌跡對應的圓心角相同，故只能在區域I中運動，故其軌跡所對應的圓心角為300°=

5

3

π，根據周期公式通過運動的時間求出粒子的比荷．根據洛倫茲力提供向心力求出速度為2v₀的粒子運動的半徑，根據幾何關系計算速度為2v₀的粒子從區域I射出時的位置離O₁的距離L．
（2）度為υ的粒子每次均垂直穿過I、Ⅱ、Ⅲ區域的邊界面并能回到O₁點，根據要求作出運動的軌跡圖，根據粒子在電場中做類平拋運動，結合運動的周期性求出電場強度的大小，進入磁場做勻速圓周運動，在磁場中運動180°出磁場，根據半徑的大小關系求出磁感應強度的大小．

解答：解：（1）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，故有：qvB=m

v2

R

，解得：R=

mv

qB

，
根據運動的周期：T=

2πR

v

可得粒子運動的周期：T=

2πm

qB

由題意可得速度為v₀和2v₀的粒子均由區域I左側aa?出磁場
則粒子轉過的圓心角為

5

3

π 
故t0=

5

6

T 
解得：

q

m

=

5π

3Bt0

對速度為2v₀的粒子在區域I運動：
洛倫茲力提供向心力Bq(2v0)=m

(2v0)2

r

r=

2mv0

Bq

=

6v0t0

5π

由幾何關系可得L=r=

6v0t0

5π

（2）當速度為v時，t1=

t0

5

，圓心角θ=60°
洛倫茲力提供向心力Bqv=m

v2

R

所以R=

mv

Bq

=

3vt0

5π

根據幾何關系d=Rsin60°=

3 3 vt0

10π

在豎直方向上做勻加速運動，位移

R

2

=

Eq

2m

t2
水平方向做勻速直線運動，位移x=vt  
根據運動的對稱性及周期性知：2x+4nx=d          （n=0、1、2、3…） 
解得E=

16

3

Bv(2n+1)2
在區域中：帶電粒子做圓周運動的半徑為R′=

R

2

即

mv

B′q

=

mv

2Bq

     
所以：B′=2B
答：（1）求出粒子的比荷為

5π

3Bt0

，速度為2v₀的粒子從區域I射出時的位置離O₁的距離L為

6v0t0

5π

．
（2）所加電場場強大小為

16

3

Bv(2n+1)2，磁感應強度大小為2B．

點評：帶電粒子在勻強磁場中的運動是整個高中的重點，也是高考的必考的內容，粒子的運動過程的分析是解題的關鍵．