Question

（2013?福建模擬）如圖所示，有三個寬度均為d的區域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；在區域Ⅰ和Ⅲ內分別有方向垂直于紙面向外和向里的勻強磁場（虛線為磁場邊界，并不表示障礙物），區域Ⅰ中磁場的磁感應強度大小為B，區域Ⅲ中磁場的磁感應強度大小未知．質量為m、帶電量為+q的粒子，從孔O₁以大小不同的速率沿圖示與aa′夾角a=30°的方向進入磁場，粒子重力忽略不計．
（1）若粒子在區域Ⅰ內運動時恰好不從邊界bb'射出，求粒子在該區域內的運動時間；
（2）若粒子經區域Ⅰ運動后恰好垂直邊界bb'射入區域Ⅱ，求粒子從孔O₁入射速度v的大小；
（3）若在區域Ⅱ中O₁O₂上方加豎直向下的勻強電場，O₁O₂下方對稱加豎直向上的勻強電場，場強大小相等，使第（2）問中的粒子每次均垂直穿過界bb'和cc'并能回到O₁點，求粒子從O₁出發至回到O₁運動的總時間及所加電場強度的大小．

Answer 1

分析：（1）粒子進入磁場后，在洛倫茲力作用下作勻速圓周運動，恰好不從邊界bb'射出時軌跡恰好與邊界bb'相切，畫出軌跡，根據幾何知識求出軌跡所對的圓心角θ，由t=

θ

2π

T求出時間．
（2）粒子經區域Ⅰ運動后恰好垂直邊界bb'射入區域Ⅱ時，畫出軌跡，結合幾何關系求出粒子的軌跡半徑，根據牛頓第二定律求出粒子從孔O₁入射速度v的大小．
（3）使第（2）問中速度為υ的粒子每次均垂直穿過I、Ⅱ、Ⅲ區域的邊界面并能回到O₁點，根據要求作出運動的軌跡圖，根據粒子在電場中做類平拋運動，結合運動的周期性求出電場強度的大小，進入磁場做勻速圓周運動，在磁場中運動180°出磁場，根據半徑的大小關系求出磁感應強度的大小．分別求出粒子在電場中和磁場中運動的時間，從而求出總時間．

解答：解：（1）粒子恰好不從邊界bb′射出，軌跡如左圖所示
  t=

5

6

T₁  ①
 T₁=

2πm

qB

   ②
由①、②式解得：t=

5πm

3qB

（2）垂直邊界bb'射出的軌跡如圖所示，轉過的圓心角得：θ=60°
由幾何關系可知：d=Rsin60°
得：R=

2 3

3

d  ③
由qvB=m

v2

R

得：v=

RqB

m

  ④
把③式代人④得：v=

2 3 Bqd

3m

（3）在區域Ⅲ中：R′=

R

2

，才能返回區域Ⅱ，
則 B′=2B
 t_電=

2d

v

=

3 m

Bq

 t_磁=

T1

3

+

T2

2

=

7mπ

6Bq

則 t=t_電+t_磁=

3 m

Bq

+

7mπ

6Bq

設在區域Ⅱ中O₁O₂上方加豎直向下的勻強電場水平為位移為x，運動時間為t，能垂直邊界進入區域Ⅲ，則應滿足：
 

R

2

=

1

2

at2=

Eq

2m

t²  ⑤
  x=vt ⑥
（2n+1）×2x=d  （n=0、1、2、3…） ⑦
由③⑤⑥⑦式得：E=

32 3 qdB2(2n+1)2

9m

 （n=0、1、2、3…）
另外求時間t也可用：
t=

1

2

×

t電

2(2n+1)

=

3 m qB

4(2n+1)

=

3 m

4(2n+1)qB

  ⑧
由③⑤⑧式得：E=

32 3 qdB2(2n+1)2

9m

 （n=0、1、2、3…）
答：（1）粒子在該區域內的運動時間為

5πm

3qB

；（2）粒子從孔O₁入射速度v的大小為

2 3 Bqd

3m

；
（3）粒子從O₁出發至回到O₁運動的總時間為

3 m

4(2n+1)qB

，所加電場強度的大小為

32 3 qdB2(2n+1)2

9m

（n=0、1、2、3…）．

點評：帶電粒子在勻強磁場中的運動是整個高中的重點，也是高考的必考的內容，粒子的運動過程的分析是解題的關鍵．