Question

如圖所示，一個半徑R=1.0m的圓弧形光滑軌道固定在豎直平面內，軌道的一個端點B和圓心O的連線與豎直方向夾角θ=60°，C為軌道最低點，D為軌道最高點．一個質量m=0.50kg的小球（視為質點）從空中A點以v₀=4.0m/s的速度水平拋出，恰好從軌道的B端沿切線方向進入軌道．重力加速度g取10m/s²．試求：
（1）小球拋出點A距圓弧軌道B端的高度h．
（2）小球經過軌道最低點C時對軌道的壓力F_C．
（3）小球能否到達軌道最高點D？若能到達，試求對D點的壓力F_D．若不能到達，試說明理由．

Answer 1

分析：根據小球恰好從軌道的B端沿切線方向進入軌道，說明小球的末速度應該沿著B點切線方向，再由圓的半徑和角度的關系，可以求出B點切線的方向，即平拋末速度的方向，從而可以求得豎直方向分速度．
根據機械能守恒定律求得C點速度，根據牛頓定律求得壓力．
設小球能到達D點，根據機械能守恒定律求得D點速度，再運用牛頓第二定律和圓周運動知識求解．

解答：解：（1）小球恰好從軌道的B端沿切線方向進入軌道，說明小球的末速度應該沿著B點切線方向，
將平拋末速度進行分解，根據幾何關系得：
B點速度在豎直方向的分量：vy=v0tan60°=4

3

m/s                       
豎直方向的分運動為自由落體運動．h=

v 2 y

2g

=

48

20

=2.4m                    
（2）由機械能守恒定律，有

1

2

m

v

2 C

=

1

2

m

v

2 0

+mg(h+R-Rcosθ)
得v_C²=74m²/s²     
根據牛頓第二定律，有F′C-mg=

m v 2 C

R

，
解得F'_C=42N               
根據牛頓第三定律，F=F'=42N，方向豎直向下．                         
（3）設小球能到達D點，根據機械能守恒定律，有

1

2

m

v

2 D

=

1

2

m

v

2 0

+mg(h-R-Rcosθ)
解得vD=

34

＞

gR

，即小球能到達D點．                               
根據牛頓定律，有F′D+mg=

m v 2 D

R

代入數據，解得小球受到的壓力F'_D=12N
根據牛頓第三定律，小球對軌道的壓力為F_D=F'_D=12N，方向豎直向上．     
答：（1）小球拋出點A距圓弧軌道B端的高度h是2.4m．
（2）小球經過軌道最低點C時對軌道的壓力是42N，方向豎直向下．
（3）小球能到達D點，對D點的壓力是12N，方向豎直向上．

點評：恰能無碰撞地沿圓弧切線從B點進入光滑豎直圓弧軌道，這是解這道題的關鍵，理解了這句話就可以求得小球的末速度，本題很好的把平拋運動和圓周運動結合在一起運用機械能守恒解決，能夠很好的考查學生的能力，是道好題．