Question

河寬l=300 m，河水流速u=1 m/s，船在靜水中的速度v=3 m/s.欲按下列要求過河時(shí)，船的航向應(yīng)與河岸成多大角度？過河時(shí)間為多少？

（1）以最短的時(shí)間過河；

（2）以最短的位移過河；

（3）到達(dá)正對(duì)岸上游100 m處.

Answer 1

解析：（1）過河時(shí)間取決于河寬和垂直河岸的橫渡速度.當(dāng)航向（即船頭）垂直河岸時(shí)，垂直河岸的速度最大，過河時(shí)間最短.

    將船相對(duì)水的速度沿平行于水流和垂直于水流的方向分解，如圖6-2-5所示，則u-vcosθ為渡船實(shí)際沿水流方向的運(yùn)動(dòng)速度，vsinθ為渡船垂直于水流方向的運(yùn)動(dòng)速度.

圖6-2-5

    過河時(shí)間為：t=，可見，當(dāng)θ=90°即航向（船頭）垂直河岸時(shí)，過河時(shí)間最短.

（2）當(dāng)船沿垂直河岸方向橫渡，即v_合垂直河岸時(shí)，過河位移最短.

（3）要求到達(dá)上游確定的某處，應(yīng)使船的合速度始終指向該處.

答案：（1）最短過河時(shí)間為：

t₁= s=100 s

    此時(shí)，船的航向與河岸成90°角.船的運(yùn)動(dòng)情況如圖6-2-6（a）所示，船將到達(dá)下游某處C.

圖6-2-6

（2）以最小位移過河時(shí)船的運(yùn)動(dòng)情況如圖6-2-6（b）所示，船的合速度v_合必須垂直河岸.設(shè)船的航向（船速方向）逆向上游與河岸成α角，則：

cosα=

α≈70.5°

    又v_合= m/s

    過河時(shí)間為

t₂= s≈106 s.

（3）設(shè)D點(diǎn)在正對(duì)岸上游100 m處，即圖中s=100 m.渡河時(shí)，船頭與河岸成β角，過河時(shí)間為t₃，如圖6-2-6（c），將船相對(duì)水的速度v沿平行于水流和垂直于水流的方向分解.由

（vcosβ-u）t₃=s

（vsinβ）t₃=l

    代入數(shù)據(jù)得：（3cosβ-1）t₃=100

（3sinβ）t₃=300

    即3cosβ=  3sinβ=

    兩式平方后相加，整理后得：-200t₃-10⁵=0

    取合理解：t₃=125 s

sinβ= =0.8      β=53°.