Question

在工業中有一種感應控制裝置，利用它進行如圖情景演示．兩根間距為L=5m的光滑平行金屬導軌，電阻不計，左端向上彎曲，其余水平，水平導軌處在磁感應強度為B=0.4T的豎直向上的勻強磁場中，彎曲部分都不在磁場中．有兩根金屬棒垂直導軌放置，其中a棒質量為M=2kg，電阻為R=2Ω；b棒被感應控制裝置固定在水平導軌上，距離水平導軌左端s=2m，b棒質量為m=1kg，電阻也為R=2Ω．現在a棒從左端彎曲導軌高H處靜止釋放，當a棒即將與b棒相碰時（已知此時a棒的速度v=2m/s），感應控制裝置立即放開b棒，讓它可以在導軌上自由運動，然后a與b發生彈性正碰．感應控制裝置始終對a棒的運動沒有任何影響，導軌足夠長．則求：
（1）最終穩定后a棒的速度大小；
（2）a與b碰撞后的瞬間，b棒的速度大小；
（3）a棒的釋放高度H．

Answer 1

分析：（1）放開b棒后，b在安培力作用下向右加速運動，a受到向左的安培力，向右做減速運動，當兩棒速度相等時，回路中沒有感應電流產生，之后兩棒做勻速運動，達到穩定狀態．對于兩棒組成的系統，合外力為零，動量守恒，列式求解．
（2）a與b碰撞后的瞬間，兩棒組成的系統動量守恒，機械能守恒，根據兩大守恒列式求解．
（3）a剛下滑至水平軌道過程，機械能守恒，列出方程；對a棒，從進入水平軌道到與b碰撞前過程，運用動量定理列式，聯立即可求得H．

解答：解：（1）放開b棒后，兩棒組成的系統，合外力為零，動量守恒，a、b最終穩定后共速，根據系統的動量守恒得：Mv=（M+m）v_共
解得：v_共=

Mv

M+m

=

2×2

2+1

m/s=

4

3

m/s                                     
（2）a、b相碰后設速度分別是v₁、v₂，根據系統的動量守恒和機械能守恒得：
 Mv=Mv₁+mv₂

1

2

Mv2=

1

2

M

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

解得：v1=

2

3

m/s
     v2=

8

3

m/s
所以碰后b的速度為：v2=

8

3

m/s
（3）a剛下滑至水平軌道時速度為v₀有：MgH=

1

2

M

v

2 0

   
至與b碰前有，取向右方向為正方向，對于a棒，根據動量定理得：
-BILt=Mv-Mv₀
其中：q=It=

E

2R

t=

△Φ

2R

=

BLs

2R

=

0.4×5×2

2×2

C=1C                    
代入得：v₀=3m/s
所以：H=0.45m       
答：（1）最終穩定后a棒的速度大小為

4

3

m/s；
（2）a與b碰撞后的瞬間，b棒的速度大小為

8

3

m/s；
（3）a棒的釋放高度H為0.45m．

點評：對于雙桿問題，關鍵抓住系統的合外力為零，系統的動量守恒進行列式．動量定理和感應電量q=

△Φ

R總

常常結合，求解速度或位移．