Question

（1）在游樂場中有一種旋轉(zhuǎn)飛椅，如圖所示，在半徑為r的平臺(tái)邊緣固定著長為L的繩子，另一端則是由小朋友乘坐的椅子，若繩子與豎直方向夾角為θ，當(dāng)平臺(tái)繞其中心軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，問：
①若小朋友和椅子的質(zhì)量共為m，則繩子的拉力為多大？
②該平臺(tái)的旋轉(zhuǎn)的角速度是多大？
（2）（地球質(zhì)量為M，半徑為r，萬有引力常量為G，發(fā)射一顆繞地球表面附近做圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星，衛(wèi)星的速度稱為第一宇宙速度．
①試推導(dǎo)由上述各量表達(dá)的第一宇宙速度的計(jì)算式，要求寫出推導(dǎo)依據(jù)．
②若已知第一宇宙速度的大小為v=7.9km/s，地球半徑r=6.4×10⁶m，萬有引力恒量G=6.67×10^-11 N?m²/kg²，求地球質(zhì)量（結(jié)果要求二位有效數(shù)字）．

Answer 1

分析：（1）由小朋友乘坐的椅子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由重力和繩子的拉力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，運(yùn)用正交分解法求解繩子的拉力和角速度．
（2）在地球表面附近的人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出第一宇宙速度．由第一宇宙速度的計(jì)算式形變，求解地球的質(zhì)量．

解答：解：（1）對(duì)人和椅子整體受力分析如圖，在豎直方向
豎直方向有：Tcosθ=mg  得T=

mg

cosθ

水平方向：由向心力公式有
   mgtanθ=mω²（r+Lsinθ）
得：ω=

gtanθ r+Lsinθ

（2）在地球表面附近的人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬有引力提供向心力，則有
  G

Mm

r2

=m

v2

r

，解得   v=

GM r

（2）由上式得    M=

v2r

G

代入數(shù)據(jù)解得   M=6.0×10²⁴kg
答：
（1）①若小朋友和椅子的質(zhì)量共為m，繩子的拉力為

mg

cosθ

．②該平臺(tái)的旋轉(zhuǎn)的角速度是ω=

gtanθ r+Lsinθ

．
（2）①第一宇宙速度的計(jì)算式為v=

GM r

．②地球質(zhì)量為6.0×10²⁴kg．

點(diǎn)評(píng)：本題旋轉(zhuǎn)飛椅和衛(wèi)星都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分析受力情況，確定向心力的來源是關(guān)鍵．