Question

如圖甲所示，MNCD為一足夠長的光滑絕緣斜面，EFGH范圍內存在方向垂直斜面的勻強磁場，磁場邊界EF、HG與斜面底邊MN（在水平面內）平行．一正方形金屬框abcd放在斜面上，ab邊平行于磁場邊界．現使金屬框從斜面上某處由靜止釋放，金屬框從開始運動到cd邊離開磁場的過程中，其運動的v-t圖象如圖乙所示．已知金屬框電阻為R，質量為m，重力加速度為g，圖乙中金屬框運動的各個時刻及對應的速度均為已知量，求：



（1）斜面傾角的正弦值和磁場區域的寬度；
（2）金屬框cd邊到達磁場邊界EF前瞬間的加速度；
（3）金屬框穿過磁場過程中產生的焦耳熱．

Answer 1

（1）由圖乙可知，在0～t₁時間內金屬框運動的加速度
            a₁=

v1

t1

         設斜面的傾角θ，由牛頓第二定律有  a₁=gsinθ
            解得  sinθ=

v1

gt1

        在t₁～2t₁時間內金屬框勻速進入磁場，則  l₀=v₁t₁
        在2t₁～3t₁時間內，金屬框運動位移  s=

3v1t1

2

        則磁場的寬度  d=l₀+s=

5v1t1

2

（2）在t₂時刻金屬框cd邊到達EF邊界時的速度為v₂，設此時加速度大小為a₂，
     cd邊切割磁場產生的電動勢   E=Bl₀v₂         
      受到的安培力   F=

BEl0

R

     由牛頓第二定律  F-mgsinθ=ma₂
     金屬框進入磁場時  mgsinθ=

B2v12l0

R

   
          解得  a₂=

v2-v1

t1

     加速度方向沿斜面向上．
（3）金屬框從t₁時刻進入磁場到t₂時刻離開磁場的過程中，由功能關系得mg(d+l0)?sinθ=

1

2

m

v

22

-

1

2

m

v

21

+Q
           解得  Q=4m

v

21

-

1

2

m

v

22

地
答：（1）斜面傾角的正弦值等于

v1

gt1

，磁場區域的寬度s=

5v1t1

2

；
    （2）金屬框cd邊到達磁場邊界EF前瞬間的加速度大小為

v2-v1

t1

，方向沿斜面向上．
    （3）金屬框穿過磁場過程中產生的焦耳熱 Q=4m

v

21

-

1

2

m

v

22

．