Question

8．如圖所示．固定斜面的傾角θ=30°，物體A與斜面之間的動摩擦因數μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，輕彈簧下端固定在斜面底端，彈簧處于原長時上端位于C點．用一根不可伸長的輕繩通過輕質光滑的定滑輪連接物體A和B．滑輪右側繩子與斜面平行，A的質量為2m，B的質量為m，初始時物體A到C點的距離為L．現給A、B一初速度v₀＞$\sqrt{gL}$，使A開始沿斜面向下運動，B向上運動，物體A將彈簧壓縮到最短后又恰好能彈到C點，已知重力加速度為g，不計空氣阻力，整個過程中，輕繩始終處于伸直狀態．求：
（1）物體A向下運動剛到C點時的速度；
（2）彈簧的最大壓縮量．

Answer 1

分析 （1）物體A向下運動到C點的過程中，A的重力勢能及AB的動能都減小，轉化為B的重力勢能和摩擦產生的內能，根據能量守恒定律列式求出物體A向下運動剛到C點時的速度；
（2）從物體A接觸彈簧到將彈簧壓縮到最短后回到C點的過程中，彈簧的彈力和重力做功都為零，根據動能定理求出彈簧的最大壓縮量．

解答 解：（1）A和斜面間的滑動摩擦力大小為 f=2μmgcosθ，物體A向下運動到C點的過程中，根據功能關系有：
2mgLsinθ+$\frac{1}{2}$•3mv₀²=$\frac{1}{2}$•3mv²+mgL+fL，
代入解得：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-gL}$．
（2）設彈簧的最大壓縮量為x．從物體A接觸彈簧，將彈簧壓縮到最短后又恰回到C點，對系統應用動能定理，有：
-f•2x=0-$\frac{1}{2}$×3mv²
解得：x=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$-$\frac{L}{2}$．
答：（1）物體A向下運動剛到C點時的速度為$\sqrt{{v}_{0}^{2}-gL}$；
（2）彈簧的最大壓縮量為$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$-$\frac{L}{2}$．

點評 本題關鍵是搞清能量如何轉化的，可以先分清在物體運動的過程中涉及幾種形式的能量，分析哪些能量增加，哪些能量減小，再判斷能量如何轉化．