Question

13．某衛星發射中心在發射衛星時，首先將該衛星發射到低空軌道1，待測試正常后通過點火加速使其進入高空軌道2，已知衛星在上述兩軌道運行時均做勻速圓周運動，假設衛星的質量不變，在兩軌道上穩定運行時的動能之比為E_k1：E_k2=4：1．如果衛星在兩軌道的向心加速度分別用a₁、a₂表示，角速度分別用ω₁、ω₂表示，周期分別用T₁、T₂表示，軌道半徑分別用r₁、r₂表示．則下列比例式正確的是（　　）

• A． a₁：a₂=4：1
• B． ω₁：ω₂=2：1
• C． T₁：T₂=1：8
• D． r₁：r₂=1：2

Answer 1

分析 先由動能的定義求出速度的關系，然后根據萬有引力提供向心力，寫出表達式，然后逐選項分析即可．

解答 解：由于衛星在兩軌道上穩定運行時的動能之比為E_k1：E_k2=4：1，而：E_k=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，所以：v₁：v₂=2：1
根據萬有引力提供向心力得 G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r=mω²r=ma，得 v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$
由上式可得：衛星的軌道半徑變為原來的4倍；
再由各個量與半徑的關系可知，周期為原來的8倍，角速度變為原來的$\frac{1}{8}$，向心加速度變為原來的$\frac{1}{16}$．故C正確，ABD錯誤．
故選：C

點評 人造衛星做圓周運動，萬有引力提供向心力，衛星的線速度、角速度、周期都與半徑有關，討論這些物理量時要找準公式，正確使用控制變量法．