Question

12．如圖，傾角θ=37°的足夠長的斜面上，有一質量M=1.0kg、長度L=2.55m的薄板A，其上表面以ab為分界線由兩種不同材料拼接而成（其中ab以上部分光滑、長度為L1=0.75m），下表面下斜面間的動摩擦因數μ₁=0.4．在薄板A的上表面左端放一質量m=1.0kg的小物塊B（可視為質點），同時將A、B由靜止釋放．已知B與A的上表面ab以下部分的動摩擦因數μ₂=0.25，B與斜面間的動摩擦因數μ₃=0.5．認為滑動摩擦力與最大靜摩擦力大小相等，物塊B從薄板A上滑到斜面上時速度不變，取g=10m/s²，求：（sin37°=0.6）
（1）B在A上滑支的時間；
（2）從AB分離到A在斜面上追上B經歷的時間．

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律和運動學公式分別求出B在A的上部分和下部分運動時間，再求總時間；
（2）先求出B剛離開薄板時A、B的速度，B滑到斜面上后，根據牛頓第二定律求出A、B的加速度，根據位移時間關系式求出A、B再次相遇的時間；

解答 解：（1）剛釋放時，對物體B，設其加速度為${a}_{1}^{\;}$；
$mgsinθ=m{a}_{1}^{\;}$①
對木板A分析有：
$Mgsinθ＜{μ}_{1}^{\;}（m+M）gcosθ$②
B在A的上部分滑動時，A保持靜止．設B剛離開上部分時速度為${v}_{1}^{\;}$：
${v}_{1}^{2}=2{a}_{1}^{\;}{L}_{1}^{\;}$③
解得：${v}_{1}^{\;}=3m/s$
B在A的上部分滑動時間為${t}_{1}^{\;}$：
${v}_{1}^{\;}={a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}$④
解得：${t}_{1}^{\;}=0.5s$
B在A的下部分滑動時，設B的加速度為${a}_{2}^{\;}$，A的加速度為${a}_{3}^{\;}$，該過程的時間為${t}_{2}^{\;}$，B的位移為${x}_{1}^{\;}$，A的位移為${x}_{2}^{\;}$；
$mgsinθ-{μ}_{2}^{\;}mgcosθ=m{a}_{2}^{\;}$⑤
$Mgsinθ+{μ}_{2}^{\;}mgcosθ-{μ}_{1}^{\;}（M+m）gcosθ=M{a}_{3}^{\;}$⑥
解得${a}_{2}^{\;}=4m/{s}_{\;}^{2}$，${a}_{3}^{\;}=1.6m/{s}_{\;}^{2}$
${x}_{1}^{\;}={v}_{1}^{\;}{t}_{2}^{\;}+\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{2}$⑦
${x}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}{a}_{3}^{\;}{t}_{2}^{2}$⑧
${x}_{1}^{\;}-{x}_{2}^{\;}=L-{L}_{1}^{\;}$⑨
解得${t}_{2}^{\;}=0.5s$
B在A上滑行的時間為t：
$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=1s$⑩
（2）設物塊B離開薄板A時，物塊B和薄板A的速度分別為${v}_{2}^{\;}$和${v}_{3}^{\;}$
${v}_{2}^{\;}={v}_{1}^{\;}+{a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{\;}$⑪
${v}_{3}^{\;}={a}_{3}^{\;}{t}_{2}^{\;}$⑫
解得：${v}_{2}^{\;}=5m/s$    ${v}_{3}^{\;}=0.8m/s$
B滑到斜面上后，設B的加速度為${a}_{4}^{\;}$，A的加速度為${a}_{5}^{\;}$：
$mgsinθ-{μ}_{3}^{\;}mgcosθ=m{a}_{4}^{\;}$⑬
$Mgsinθ-{μ}_{1}^{\;}Mgcosθ=M{a}_{5}^{\;}$⑭
${a}_{4}^{\;}=2m/{s}_{\;}^{2}$，${a}_{5}^{\;}=2.8m/{s}_{\;}^{2}$
B滑到斜面上后到A、B再次相遇時間為${t}_{3}^{\;}$，位移為${x}_{3}^{\;}$：
${x}_{3}^{\;}={v}_{2}^{\;}{t}_{3}^{\;}+\frac{1}{2}{a}_{4}^{\;}{t}_{3}^{2}$⑮
${x}_{3}^{\;}={v}_{3}^{\;}{t}_{3}^{\;}+\frac{1}{2}{a}_{5}^{\;}{t}_{3}^{2}$⑯
${t}_{3}^{\;}=10.5s$⑰
答：（1）B在A上滑動的時間1s；
（2）從AB分離到A在斜面上追上B經歷的時間10.5s．

點評 本題是多過程問題，采用程序法進行分析，關鍵要分析清楚物體運動過程是正確解題的前提與關鍵，應用牛頓第二定律、運動學公式即可正確解題．