Question

18．如圖所示，兩平行光滑的金屬導軌MN、PQ固定在水平面上，相距為L，處于豎直向下的磁場中整個磁場由n個寬度皆為x₀的條形勻強磁場區域1、2、…、n組成，從左向右依次排列，磁感應強度的大小分別為B、2B、3B、…、nB，兩導軌左端MP間接入電阻R，一質量為m的金屬棒ab垂直于MN、PQ放在水平導軌上，與導軌電接觸良好，不計導軌和金屬棒的電阻．
（1）對導體棒ab施加水平向右的力，使其從圖示位置開始運動并穿過n個磁場區，求導體棒穿越磁場區1的過程中通過電阻R的電荷量q；
（2）對導體棒ab施加水平向右的恒力F₀，讓它從磁場區1左側邊界處開始運動，當向右運動距$\frac{{x}_{0}}{2}$時做勻速運動，求棒通過磁場區1所用的時間t；
（3）對導體棒ab施加水平向右的拉力，讓它從距離磁場區1左側x=x₀的位置由靜止開始做勻加速運動，當棒ab進入磁場區1時開始做勻速運動，此后在不同的磁場區施加不同的拉力，使棒ab保持做勻速運動穿過整個磁場區，求棒ab通過第i磁場區時的水平拉力Fi和棒ab在穿過整個磁場區過程中回路產生的電熱Q．

Answer 1

分析 （1）根據法拉第電磁感應定律求出平均電流，帶入公式Q=It即可求出電量．
（2）線框開始做加速度逐漸減小的加速運動，然后勻速運動，對于變加速過程根據數學知識可以求出時間．
（3）根據動能定理可以求出導體棒進入磁場時速度大小，在磁場中勻速運動因此安培力等于力F₁，根據受力平衡可以求出力F₁，在磁場中運動時，導體棒克服安培力做功，轉化為回路中的電熱，根據功能關系寫出安培力做功表達式，然后依據數學知識求解．

解答 解：（1）電路中產生的感應電動勢為：$E=\frac{△Φ}{△t}$
通過電阻R的電量為：$q=I△t=\frac{E△t}{R}$
導體棒通過I區過程：△Φ=BLx₀
解得：$q=\frac{BL{x}_{0}}{R}$
故導體棒穿越磁場區1的過程中通過電阻R的電量：$q=\frac{BL{x}_{0}}{R}$．
（2）設導體棒運動時速度為v₀，則產生的感應電流為：
${I}_{0}=\frac{E}{R}=\frac{BL{v}_{0}}{R}$
導體棒受到的安培力與水平向右的恒力F₀平衡，則
BI₀L=F₀
解得：${v}_{0}=\frac{{F}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$
設棒通過磁場去I在△t時間內速度的變化為△v，對應的位移為△x，則
${F}_{0}-BIL=m\frac{△v}{△t}$
$△v=\frac{{F}_{0}}{m}△t-\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mR}v△=\frac{{F}_{0}}{m}△t-\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mR}△x$
則$∑△v=\frac{{F}_{0}}{m}∑△t-\frac{{B}^{2}{L}^{2}\;}{mR}∑△x$
解得：$t=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}_{0}}{{F}_{0}R}+\frac{mR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
故棒通過磁場區1所用的時間$t=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}_{0}}{{F}_{0}R}+\frac{mR}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（3）設進入I區時拉力為F₁，速度v，則有：
${F}_{1}{x}_{0}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$ 
 ${F}_{1}-\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}\;=0$
解得：${F}_{1}=\frac{2{B}^{4}{L}^{4}{x}_{0}}{m{R}^{2}}$，$v=\frac{2{B}^{2}{L}^{2}{x}_{0}}{mR}$
進入i區的拉力：${F}_{i}=\frac{2{i}^{2}{B}^{4}{L}^{4}{x}_{0}\;}{m{R}^{2}}$．
導體棒以后通過每區域都以速度v做勻速運動，由功能關系有：
Q=F₁x₀+F₂x₀+…+F_nx₀
解得：$Q=\frac{2{x}_{0}^{2}{B}^{4}{L}^{4}}{m{R}^{2}}（{1}^{2}+{2}^{2}+…{n}^{2}）$
故棒ab通過第i磁場區時的水平拉力的拉力：${F}_{i}=\frac{2{i}^{2}{B}^{4}{L}^{4}{x}_{0}\;}{m{R}^{2}}$，棒ab在穿過整個磁場區過程中回路產生的電熱$Q=\frac{2{x}_{0}^{2}{B}^{4}{L}^{4}}{m{R}^{2}}（{1}^{2}+{2}^{2}+…{n}^{2}）$．
答：（1）導體棒穿越磁場區1的過程中通過電阻R的電荷量是$\frac{BL{x}_{0}}{R}$；
（2）對導體棒ab施加水平向右的恒力F₀，讓它從磁場區1左側邊界處開始運動，當向右運動距$\frac{{x}_{0}}{2}$時做勻速運動，棒通過磁場區1所用的時間t為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}_{0}}{{F}_{0}R}+\frac{mR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）棒ab通過第i磁場區時的水平拉力F_i為$\frac{2{i}^{2}{B}^{4}{L}^{4}{x}_{0}\\;}{m{R}^{2}}$，棒ab在穿過整個磁場區過程中回路產生的電熱為$\frac{2{x}_{0}^{2}{B}^{4}{L}^{4}}{m{R}^{2}}（{1}^{2}+{2}^{2}+…{n}^{2}）$．

點評 本題考查了電磁感應中力學與功能問題，物理過程比較簡單，難點在于應用數學知識解答物理問題．