Question

1．如圖所示，兩根光滑金屬導軌平行放置在傾角為30°的斜面上，導軌寬度為L，導軌下端接有電阻R，兩導軌間存在一方向垂直于斜面向上、磁感應強度大小為B的勻強磁場．輕繩一端平行于斜面系在質量為m的金屬棒上，另一端通過定滑輪豎直懸吊質量為m₀的小木塊．第一次將金屬棒從PQ位置由靜止釋放，發現金屬棒沿導軌下滑．第二次去掉輕繩，讓金屬棒從PQ位置由靜止釋放．已知兩次下滑過程中金屬棒始終與導軌接觸良好，且在金屬棒下滑至底端MN前，都已經達到了平衡狀態．導軌和金屬棒的電阻都忽略不計，已知$\frac{m}{{m}_{0}}$=4，$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\sqrt{gh}$（h為PQ位置與MN位置的高度差）．求：
（1）金屬棒兩次運動到MN時的速度大小之比；
（2）金屬棒兩次運動到MN過程中，電阻R產生的熱量之比．

Answer 1

分析 （1）導體棒勻速運動時受力平衡，分別對兩種情況進行研究，由平衡條件和安培力公式列式，即可求得速度比．
（2）分別對兩過程進行分析，根據動能定理列式，聯立即可求得產生熱量之比，

解答 解：（1）第一次釋放金屬棒后達到了平衡狀態時，設金屬棒速度為v₁，根據法拉第電磁感應定律有：
E₁=BLv₁
根據閉合電路歐姆定律有：
I₁=$\frac{{E}_{1}}{{R}_{1}}$
金屬棒受到的安培力為：
F_安=BI₁L
金屬棒勻速運動時有：
mgsin30°=F_安+m₀g
解得：v₁=$\frac{（m-2{m}_{0}）gR}{2{B}^{2}{L}^{2}}$
第二次釋放金屬棒后達到了平衡狀態后，設金屬棒速度為v₂，根據法拉第電磁感應定律有：
E₂=BLv₂
根據閉合電路歐姆定律有：
I₂=$\frac{{E}_{2}}{R}$
金屬棒受到的安培力為：F_安=BI₂L
金屬棒勻速運動時有：mgsin30°=F_安
解得：v₂=$\frac{mgR}{2{B}^{2}{L}^{2}}$
所以有：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{m-2{m}_{0}}{m}$=$\frac{1}{2}$
（2）第一次下滑至MN位置的過程中根據動能定理是：
mgh-m₀g$\frac{h}{sin30°}$-W₁=$\frac{1}{2}$（m+m₀）v₁²
第二次下湍至MN位置的過程中根據動能定理得：
mgh-W₂=$\frac{1}{2}$mv₂²
兩次運動過程中，電阻R上產生的熱量之比為：
$\frac{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}$=$\frac{{W}_{1}}{{W}_{2}}$
聯立解得：
$\frac{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}$=$\frac{59}{112}$
答：（1）金屬棒兩次運動到MN時的速度大小之比為1：2；
（2）金屬棒兩次運動到MN過程中，電阻R產生的熱量之比為59：112．

點評 本題是電磁感應中的力學問題，關鍵要正確推導出安培力與速度的關系，由平衡條件解答；同時注意明確能量轉化規律，再根據動能定理列式即可求解產生熱量之比．